Permutations avec sous-séquences interdites

Soit le jeu et C (n, k) le jeu de toutes les -combinaisons d'éléments de sans répétition. Soit un -uple dans . On dit qu'une permutation de l'ensemble évite s'il n'y a pas de k-tuple d'entiers tels que $[n]$ $\{1,...,n\}$ $k$ $[n]$ $p= p_1p_2...p_k$ $k$ $C(n,k)$ $\pi:[n]\rightarrow [n]$ $[n]$ $p$ $i_1<i_2<...<i_k$

π ({je}_{1}) = p_{1}, π ({je}_{2}) = p_{2}, . . ., π ({je}_{k}) = p_{k} .

$\pi(i_1) = p_1, \;\;\pi(i_2)=p_2,\;\; ...,\;\;\pi(i_k) = p_k.$

Par exemple, si la permutation évite comme sous-séquence, contrairement à la permutation . $n=5$ $12453$ $134$ $\mathbf{1}2\mathbf{3}5\mathbf{4}$

Question: Soit une constante. Etant donné un ensemble de - uplets, trouver une permutation qui évite chaque uplet dans . $k$ $S\subset C(n,k)$ $k$ $\pi:[n]\rightarrow [n]$ $k$ $S$

Existe-t-il un algorithme pour ce problème qui est polynomial dans $|P|$ et $n$ ? Ici $n$ est donné en unaire. Un algorithme fonctionnant dans le temps $n^{f(k)}|P|^{g(k)}$ conviendrait.
Ou ce problème est-il NP-complet?

Toutes les références à ce problème ou suggestions d'algorithmes sont les bienvenues. Notez que la notion de permutation évitant la sous-séquence définie ci-dessus n'est pas la même que la notion de permutation évitant le motif où seul l'ordre relatif des éléments est important, et qui semble bien étudié en combinatoire.

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— Mateus de Oliveira Oliveira
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Voulez-vous dire prendre une permutation au hasard et vérifier si elle ne viole aucune contrainte dans S? Un algorithme de temps polynomial randomisé serait mieux que rien. k est supposé être une constante, il est donc par définition petit. Mais je ne vois pas comment cela fonctionnerait efficacement si S avait beaucoup de contraintes. Depuis la réponse de David, le problème est le NPC pour k = 3, je suis un peu sceptique quant à l'efficacité d'un algorithme randomisé. Pourriez-vous expliquer un peu votre idée?

— Mateus de Oliveira Oliveira

Désolé, j'ai oublié que vous avez un ensemble de tuples interdits. Il n'y a aucune garantie que l'échantillonnage de rejet sera efficace.

— DW

Il est NP-complet pour par une réduction de l' interdépendance . Dans le problème d'interdépendance, on donne éléments à ordonner totalement, et des contraintes sur certains triplets d'articles forcent un élément du triple à être entre les deux autres. Dans votre problème, la même contrainte peut être forcée en interdisant toutes les sous-séquences sur trois éléments qui ne placent pas l'élément central au milieu. Mais l'interdépendance est connue pour être NP-complète: voir J. Opatrny, Total ordering problem, SIAM J. Comput. , 8 (1979), p. 111-114. $k=3$ $n$

— David Eppstein
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