Dans quelle mesure, la capacité de calcul pour les tâches difficiles aide à résoudre des tâches faciles

En bref, la question est: dans quelle mesure, la capacité de calcul pour les tâches difficiles vous aide vraiment à résoudre des tâches faciles. (Il pourrait y avoir plusieurs façons de rendre cette question intéressante et non triviale, et voici une telle tentative.)

Question 1:

Considérons un circuit pour résoudre SAT pour une formule avec n variables. (Ou pour trouver un cycle hamiltonien pour un graphe à bords.) $n$

Supposons que chaque porte permette le calcul d'une fonction booléenne arbitraire sur variables. Pour le concret, prenons . $m$ $m=0.6 n$

L'hypothèse de temps exponentiel fort (SETH) affirme que même avec des portes aussi fortes, nous avons besoin d'une taille de circuit superpolynomiale. En fait, nous avons besoin d'au moins pour chaqueEn un sens, les portes sur une fraction des variables qui représentent des fonctions booléennes très compliquées (bien au-delà de l'exhaustivité de NP) ne vous donnent pas beaucoup d'avantages. $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

Nous pouvons en outre demander:

(i) Peut-on avoir un tel circuit de taille ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

Une réponse «non» sera un vaste renforcement de la SETH. Bien sûr, il y a peut-être une réponse simple «oui», qui me manque tout simplement.

(ii) Si la réponse à (i) est OUI, les portes qui calculent des fonctions booléennes arbitraires offrent certains avantages par rapport aux portes qui calculent «juste» (disons) des fonctions NP arbitraires; ou tout simplement de plus petites instances de SAT lui-même?

Les prochaines tentatives de question de poser quelque chose de similaire pour les questions . $P$

Question 2:

Comme précédemment laisser et pour mettre concrétude . (D'autres valeurs de telles que sont également intéressantes.) Considérez les types de circuits suivants: $m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

a) En une seule étape, vous pouvez calculer une fonction booléenne arbitraire sur variables. $m$

b) En une seule étape, vous pouvez résoudre un problème SAT avec variables. Ou peut-être un circuit arbitraire non déterministe de taille polynomiale en variables. $m$ $m$

c) En une seule étape, vous pouvez effectuer un circuit arbitraire sur variables de taille ( est fixe). $m$ $m^d$ $d$

d) En une seule étape, vous pouvez exécuter des portes booléennes ordinaires.

Considérons la question de trouver une correspondance parfaite pour un graphe à arêtes. L'appariement a un circuit de taille polynomiale. La question est de savoir si l'exposant dans un tel algorithme de correspondance peut être amélioré lorsque vous passez de circuits de type d) à des circuits de type c), et de circuits de taille c) à des circuits de taille b), et de circuits de taille b ) aux circuits de taille a). $n$

(Cela peut être lié à des problèmes bien connus concernant le calcul parallèle ou les oracles.)

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Gil Kalai
source

En fait, le Strong ETH n'est pas si fort: il dit simplement que vous ne pouvez pas avoir un algorithme uniforme fonctionnant en temps pour SAT avec des clauses , pour tout . Autoriser des fonctions booléennes arbitraires sur de petits ensembles de variables vous place dans un circuit non uniforme. Le "SETH non uniforme" est une variante intéressante mais je ne pense pas qu'il ait été étudié de trop près encore.

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

— Ryan Williams

Cher Rayan, c'est vrai, je me sens plus à l'aise pour considérer le cas non uniforme. Une non-réponse à la question 1 sera un vaste renforcement du SETH non uniforme. (Je pensais que SETH non uniforme comme un renforcement de SETH, mais peut-être que je me trompais.) Vous pouvez peut-être reformuler les questions 1 et 2 pour des algorithmes uniformes. Dans tous les cas, peut-être avec des versions aussi fortes de SETH et SETH non uniforme, il sera possible de trouver un contre-exemple.

— Gil Kalai

Je suppose que vous voulez faire attention à ce que est: dans SETH, il désigne le nombre de variables, dans ce qui précède, il semble désigner la longueur d'entrée. Si vous autorisez des portes qui peuvent "calculer SAT sur des instances de variable ", il est trivial d'obtenir un circuit de taille profondeur 2 pour variable SAT: prenez un OU sur toutes les affectations possibles aux variables , et utilisez vos portes SAT pour résoudre SAT sur les variables restantes . Mais ce n'est probablement pas ce que vous cherchez ... N'est-ce pas?

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

— Ryan Williams

En comptant, vous devriez pouvoir calculer environ fonctions avec de tels circuits de taille donc je suppose que devrait être suffisant pour calculer toutes les fonctions. $2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— Boaz Barak
source

Salut, @Boaz Barak. Cela vous dérangerait-il si j'ai fusionné vos deux comptes sur ce site?

— Lev Reyzin

Merci Boaz. Je suppose que l'esprit de la question est le suivant: si vous allez bien en dessous de ce qui est nécessaire pour calculer toutes les fonctions, pouvez-vous toujours calculer une fonction NP complète.

— Gil Kalai