Quelle est la complexité de l'état du langage de copie?

Soit un nombre . Considérons la langue suivante $n$ . $L_n = \{ \; ww \; \vert \; w \in \{0,1\}^{n} \; \}$

En termes, est l'ensemble des chaînes de copie de longueur . $L_n$ $2n$

Considérons la fonction de complexité d'état suivante telle que est le nombre d'états dans les plus petits automates de refoulement qui reconnaissent . $s$ $s(n)$ $L_n$

Question: Pouvez-vous prouver formellement une limite inférieure significative pour ? $s(n)$

Ma conjecture: . $s(n) = 2^{\Theta(n)}$

Limite supérieure connue: . $s(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot 2^{\frac{n}{2}}$

Règles:

(1) L'alphabet de pile doit être binaire.

(2) La bande d'entrée est unidirectionnelle et ne peut s'arrêter sur aucun caractère d'entrée.

— Michael Wehar
source

Je n'ai actuellement aucune limite inférieure significative. Il me semble que vous pourriez être en mesure de prouver une limite inférieure pour le nombre de variables dont vous avez besoin pour un CFG qui reconnaissent la langue. Mais je n'en suis même pas totalement sûr.

— Michael Wehar

Mon intuition est que lorsque vous poussez des caractères de la bande d'entrée vers la pile, vous rencontrez un problème. Si vous souhaitez récupérer ces bits ultérieurement, vous devez jeter tous les bits que vous avez poussés au-dessus. En d'autres termes, il semble que la pile ne vous aide pas car plus vous y appuyez, plus vous êtes obligé d'oublier plus tard.

— Michael Wehar

Remarque: Pour les DFA (automates sans pile), vous pouvez prouver une complexité d'état exponentielle inférieure.

— Michael Wehar

Pouvez-vous montrer une borne inférieure raisonnable pour le problème plus simple de

{0^{k} 1^{l} 0^{k} 1^{l}}

$\{0^k1^l0^k1^l\}$

— András Salamon

Une limite supérieure plus précise semble être

états.

(n + 3) 2^{n / 2}

$(n+3)2^{n/2}$

— András Salamon

La technique décrite par Yuval:

Existe-t-il une taille polynomiale CFG qui décrit ce langage fini?

(vous pouvez également lire: Limites inférieures de la taille des CFG pour des langues finies spécifiques )

$G$ $L_n$ $w\in \{0,1\}^n$ $A(w)$ $s(w)$ $ww$ $n/2$ $n$ $p(w)$ $ww$ $n/2$ $w,w'$ $A(w)=A(w')$ $p(w)=p(w')$ $2^{n/2}$ $A(w)$ $p(w)$ $2^{\Theta(n)}$

$2^{\Theta(n)}$ $L_n$

— Joseph Stack
source

Génial, merci encore! Je vois maintenant et je vais y réfléchir pour confirmer. :)

— Michael Wehar

[n, 2 n]

$[n,2n]$

[n / 2, n]

$[n/2,n]$

(A (w), p (w))

$(A(w),p(w))$

A (w)

$A(w)$

w w

$ww$

p (w)

$p(w)$

Voir également le Théorème 7 dans mon article: cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf .

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Il convient également de noter qu'Andras a passé un peu de temps à essayer de faire correspondre les limites supérieure et inférieure. Mon ami Pepe et moi avons défini une classe générale de langues finies et leur avons appliqué la technique. Nous n'avons cependant jamais rien écrit. Si jamais vous rencontrez des problèmes, nous serions plus que disposés à collaborer. Merci encore.

— Michael Wehar