P / poly

$P/poly = NP/poly$ implique$NP \subseteq P/poly$ , qui à son tour a des conséquences intéressantes comme l'effondrement de la hiérarchie polynomiale.

Y a-t-il des implications intéressantes pour $P/poly \neq NP/poly$ ?

Le commentaire d'Emil Jeřábek répond à la question:

P / poly NP / poly est équivalent à NP P / poly$=$$\subseteq$

Notez le corollaire

P / poly NP / poly implique P NP.$\neq$$\neq$

Preuve de corollaire:

1. P / poly NP / poly est équivalent à NP P / poly (commentaire d'Emil)$=$$\subseteq$$\ $
2. NP P / poly implique P / poly NP / poly (sous-entendu par 1.)$\subseteq$$=$$\ $
3. P / poly NP / poly implique NP P / poly (équivalent à 2.)$\neq$$\not\subseteq$$\ $
4. NP P / poly implique P NP (P P / poly)≠ $\not\subseteq$$\neq$$\ $$\subseteq$
5. P / poly NP / poly implique P NP (sous-entendu par 3. et 4.)$\neq$$\neq$$\ $

Preuve du commentaire d'Emil: Il suffit de montrer que NP P / poly implique P / poly NP / poly.$\subseteq$$=$

1. Supposons donc NP P / poly.$\subseteq$
2. Parce que SAT NP, il existe et une séquence de chaînes de conseils avec , un algorithme déterministe qui peut décider des instances SAT de taille dans le temps , si elle a accès à . WLOG, cet algorithme peut également décider des instances SAT de taille , car nous pouvons définir une séquence modifiée avec , où toutes les chaînes de conseils précédentes sont incluses dans .p S A T ≥ k S A T > 0 s n | s n | ≤ n k S A T n ≤ n p S A T s n ≤ n s ′ n = s ′ n - 1$\in$$p_{SAT}\geq k_{SAT}>0$$s_n$$\left|s_n\right|\leq n^{k_{SAT}}$$n$$\leq n^{p_{SAT}}$$s_n$$\leq n$| s ′ n | ≤ n k S A T + 1 s $s'_n=s'_{n-1}s_n$$\left|s'_n\right|\leq n^{k_{SAT}+1}$$s'_n$
3. Soit maintenant NP / poly un langage arbitraire, pour lequel nous devons montrer P / poly. Il existe et une séquence de chaînes de conseils avec et un algorithme non déterministe qui peut décider de instances de taille dans le temps , s'il a accès à .L ∈ p L ≥ k L > 0 l n | $L\in$$L\in$$p_L\geq k_L>0$$l_n$ Ln≤ n p L l $\left|l_n\right|\leq n^{k_L}$$L$$n$$\leq n^{p_L}$$l_n$
4. Pour chaque avec , une instance SAT de taille peut être calculée (en temps ) qui est satisfaisable exactement si .| w $w$≤ c ⋅ n p L O ( n p L ) w ∈ $|w|=n$$\leq c\cdot n^{p_L}$$O(n^{p_L})$$w\in L$
5. Donc pour la séquence de chaînes de conseils avec , la combinaison des algorithmes déterministes de 2. et 4. donne un algorithme déterministe qui peut décider de instances de taille dans le temps , si elle a accès à . | t n | ≤ n k L + ( c ⋅ n p L ) k S A T L n O ( ( c ⋅ n p L ) p S A T ) t $t_n=l_ns_{c\cdot n^{p_L}}$$|t_n|\leq n^{k_L}+(c\cdot n^{p_L})^{k_{SAT}}$$L$$n$$O((c\cdot n^{p_L})^{p_{SAT}})$$t_n$
6. Parce que NP / poly était un langage arbitraire, cela montre NP / poly P / poly, sous l'hypothèse que NP P / poly.⊆ $L\in$$\subseteq$$\subseteq$

Toutes les preuves ci-dessus se relativisent, car l'existence de problèmes NP-complets est également vraie dans les mondes relativisés. Cela suggère qu'il est vain de rechercher une preuve que P / poly NP / poly. Cependant résumons la section de motivation supprimée$\neq$de la question comme "La chaîne de conseil pourrait être un système axiomatique formel (automatiquement garanti pour être cohérent, sourire maléfique) dont la force augmente rapidement avec la longueur d'entrée, et NP est extrêmement bon pour exploiter ce conseil." Si l'on ne fait pas très attention à ce que "l'existence d'une séquence de piqûres d'avis" n'ait qu'une signification "formelle" par rapport à un système formel fixe, cette configuration est susceptible de permettre la construction de paradoxes apparents. Mais la construction de tels paradoxes peut néanmoins être amusante, et peut-être même suggérer des moyens de construire des preuves d'indépendance (pour des systèmes formels suffisamment faibles).