Deux variantes de NP

Voici deux variantes de la définition de NP. Ils définissent (presque certainement) des classes de complexité distinctes, mais ma question est: existe-t-il des exemples naturels de problèmes qui correspondent à ces classes?

(Mon seuil pour ce qui compte comme naturel ici est un peu plus bas que d'habitude.)

Classe 1 (une superclasse de NP): problèmes avec les témoins de taille polynomiale qui prennent un temps superpolynomial mais subexponentiel à vérifier. Pour le concret, disons le temps . Cela équivaut à la classe des langages reconnus par les machines non déterministes qui prennent du temps mais ne peuvent faire que des suppositions poly (n) non déterministes. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Y a-t-il des problèmes naturels dans la classe 1 qui ne sont pas connus / pensés être ni dans ni dans ? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

La classe 1 est une classe de langues, comme d'habitude. La classe 2, en revanche, est une classe de problèmes relationnels:

Classe 2: Une relation binaire R = {(x, y)} est dans cette classe si

Il existe un polynôme p tel que (x, y) dans R implique | y | est au plus p (| x |).
Il existe un algorithme A à temps poly (| x |) tel que, pour toutes les entrées x, s'il y a tel que (x, y) est dans R, alors (x, A (x)) est dans R, et s'il n'y a pas un tel y, alors A (x) rejette.
Pour tout algorithme de temps poly (| x |) B, il existe une infinité de paires (x, w) telles que B (x, w) diffère de R (x, w) (ici j'utilise R pour désigner sa propre caractéristique fonction).

En d'autres termes, pour tous les cas, un témoin est facile à trouver s'il y en a un. Et pourtant, tous les témoins ne sont pas facilement vérifiables.

(Notez que si R est dans la classe 2, alors la projection de R sur son premier facteur est simplement dans P. C'est ce que je voulais dire en disant que la classe 2 est une classe de problèmes relationnels.)

Y a-t-il des problèmes relationnels naturels en classe 2?

— Joshua Grochow
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Je ne suis pas sûr de la question. Voulez-vous des problèmes qui sont évidemment dans l'une des classes mais pas dans l'autre?

— Lev Reyzin

Non. Pour chaque classe, je me demande séparément s'il y a des problèmes naturels qui entrent dans la classe mais ne sont pas connus pour s'intégrer dans d'autres classes de complexité standard. Par exemple, j'aimerais savoir s'il y a un problème naturel dans la classe 1 qui n'est pas connu pour être en NP.

— Joshua Grochow

Je pense que vous voulez réécrire la condition 2 pour la classe 2, car sinon A peut être l'algorithme trivial qui rejette toujours. Votre description verbale ci-dessous semble plus sensée.

— Andy Drucker

Pour la classe 2, un exemple quelque peu stupide est R (p, a) = {p est un polynôme entier, a est dans la plage de p et | a | = O (poly (| p |)}. R est en classe 2 mais indécidable

— Andy Drucker

Andy - pourquoi ne pas poster cela comme réponse au lieu d'un commentaire?

— Joshua Grochow

Pour la classe 2, un exemple quelque peu stupide est

R (p, a) = {p est un polynôme entier, a est dans la plage de p et | a | = O (poly (| p |)}.

R est en classe 2 mais indécidable.

— Andy Drucker
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{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

Ah oui. C'est comme ça que je me suis convaincu avant aussi :). Merci.

— Joshua Grochow

Je vous demanderais de clarifier un peu la condition du témoin en classe 1. Il semble que tout problème lié de manière appropriée par le co-NP semble faire l'affaire, est-ce ce que vous vouliez?

$\log n$

— Magnus Wahlström
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n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Je mettrai à jour la question en conséquence). Je me demande si une version d'un autre problème paramétré pourrait faire l'affaire, mais je ne connais pas trop la complexité paramétrée.

— Joshua Grochow

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Ce n'est probablement pas dans QP car il peut exprimer tous les problèmes dans NP, et ce n'est probablement pas dans NP parce qu'il peut exprimer tous les problèmes dans co-NTIME (polylog).

— Robin Kothari
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f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Ouais, je suppose que ça marcherait.

— Robin Kothari