Qu'est-ce qu'un bon dictionnaire Théorie des catégories-Théorie des domaines?

En traitant des catégories théoriques du domaine (disons CPO et CPO), je souhaite souvent un dictionnaire pour le langage de la théorie des catégories dans la théorie des domaines. $\omega$

Autrement dit, étant donné un concept, disons flèche monique, je pourrais le rechercher dans le dictionnaire et voir quelles sont les caractérisations connues de celui-ci dans les différentes catégories de domaine.

Je me rends compte que ce souhait est trop à espérer, mais y a-t-il un texte ou une ressource l'approximant?

— Ohad Kammar
source

Réponses:

La meilleure ressource pour cela est le chapitre du manuel d'Abramsky et Jung. Je me souviens qu'ils avaient un tableau qui renvoyait à diverses constructions et catégories de domaines, les entrées indiquant si la construction fonctionnait dans cette catégorie et quelles propriétés elle avait. Cependant, les propriétés des flèches comme être un monique ont tendance à ne pas avoir de caractérisations extrêmement lisses, car la disponibilité des domaines plats a tendance à garantir qu'ils ne sont souvent pas très différents de leur homologue théorique. OTOH, les propriétés qui font un certain usage de la structure d'ordre (comme être une paire d'intégration-projection) ont tendance à avoir des caractérisations assez jolies.

Un point mineur à surveiller est qu'il existe en fait deux définitions de CPO couramment utilisées! Les consommateurs de la théorie des domaines (comme moi) préfèrent souvent travailler avec des oméga-chaînes, car les chaînes sont des objets assez concrets; tandis que les producteurs de théorie des domaines (comme, euh, votre conseiller) ont tendance à préférer travailler avec des ensembles dirigés, qui sont plus généraux et ont de meilleures propriétés algébriques. (Offhand, je ne sais pas si la restriction aux ensembles dirigés ayant une base dénombrable est équivalente à la condition de la chaîne oméga.)

Quelque chose que j'ai trouvé très utile dans la construction de ce type de dictionnaire est de travailler sur la solution des équations de domaine récursives dans une catégorie de choses qui ne sont pas exactement des domaines. Deux bons choix sont les catégories de PER (par exemple, dans les modèles de polymorphisme) et les préfiltres (par exemple, pour l'attribution des noms). Les espaces métriques sont une autre possibilité, mais je les ai trouvés trop similaires aux domaines pour m'aider à construire l'intuition.

— Neel Krishnaswami
source

Oui, je connais le chapitre d'Abramsky et al., Et en particulier ledit tableau. Comme vous l'avez dit, ils décrivent les structures fondamentales (produits, sommes, exponentielles, etc.), mais la liste est loin d'être exhaustive.

— Ohad Kammar

La question s'est posée dans mon esprit lorsque je discutais de plusieurs possibilités de définition, et nous devions comparer différents concepts catégoriels (plusieurs notions de flèches moniques, pour être exact). J'ai été un peu surpris quand j'ai réalisé que notre méthodologie consistait soit à élaborer rapidement des caractérisations pratiques en utilisant l'intuition, de vieux articles et tout livre qui nous venait à l'esprit, surtout lorsque les notions n'étaient pas des notions catégoriques aussi obscures. Bien sûr, cette méthode est appelée "expertise" (ce qui me manque), mais en tant que programmeur, je pensais qu'il pourrait y avoir une meilleure façon de le faire.

— Ohad Kammar

Oh, et en passant, concernant ledit producteur --- combien de ces problèmes avec les DCPO sont dus au calendrier de recherche? Si vous regardez les modèles originaux de Scott du -calculus, il a utilisé des réseaux continus, qui sont encore plus forts que les DCPO (non?). Rétrospectivement, nous savons que les réseaux continus ne sont pas la meilleure idée, et travaillons avec des CPO, ou quelle que soit la saveur appropriée (CPO pointés ou sur des PER, etc.). En effet, c'est là que se manifeste le plein avantage de la théorie des catégories. Je sais que de nos jours, il est parfaitement content de travailler avec CPO lorsque nous devons consommer quelque chose.

λ

$\lambda$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

— Ohad Kammar

Vous voudrez peut-être consulter Smyth et Plotkin 1982, "Sur la solution théorique de catégorie des équations de domaine récursives", ou certains articles de Paul Taylor (j'oublie les références exactes), ou 1996 "Propriétés relationnelles des domaines" d'Andy Pitts. Ces articles font tous des choses via des caractérisations abstraites descendantes des propriétés nécessaires. Moi, j'ai trouvé ces articles un peu trop abstraits pour moi jusqu'à ce que j'aie travaillé sur les détails concrets de quelques exemples. Ensuite, ils étaient clairs!

— Neel Krishnaswami

Markowsky 1977, Catégories de posets complets de chaîne a un joli tableau pour certaines variantes de CPO.

— Ohad Kammar

Je ne suis pas sûr qu'il y en ait un. Il existe cependant de nombreux bons livres sur la théorie des catégories et encore plus d'ensembles de notes de cours, de qualité variable. Wikipedia a également beaucoup d'informations fiables sur la théorie des catégories et la théorie des domaines . NCatLab est une autre bonne ressource Internet , bien qu'elle dérive davantage vers la théorie des catégories de dimension supérieure.

Une bonne référence de théorie de domaine est S. Abramsky, A. Jung (1994). "Théorie des domaines". In S. Abramsky, DM Gabbay, TSE Maibaum, éditeurs, (PDF). Manuel de logique en informatique. III. Oxford University Press. ISBN 0-19-853762-X.

Les livres sur la théorie des catégories que j'ai consultés sont:

Awodey, Steve (2006). Théorie des catégories (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press. 2e édition, 2010. Une bonne introduction récente, tournée vers l'informatique
Barr, Michael; Wells, Charles "Théorie des catégories pour la science informatique." Difficile à obtenir, c'est-à-dire non disponible sur Amazon
Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997). Mathématiques conceptuelles: une première introduction aux catégories. La presse de l'Universite de Cambridge. Introduction délicieuse, peut-être pas assez profonde
Mac Lane, Saunders (1998). Catégories pour le mathématicien de travail. Textes d'études supérieures en mathématiques 5 (2e éd.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Peut-être trop mathématique
Pierce, Benjamin (1991). Théorie des catégories de base pour les informaticiens. MIT Appuyez sur. Peut-être trop basique
Taylor, Paul (1999). Fondements pratiques des mathématiques. La presse de l'Universite de Cambridge. Assez complet; prend une perspective logique

D'autres livres sont disponibles en ligne tels que Barrose & Top 's Toposes, Triples, and Theories et Jiri Adámek, Horst Herrlich et George E. Strecker Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats . Ceux-ci sont susceptibles de contenir toutes les définitions dont vous avez besoin, au moins du côté de la théorie des catégories.

— Dave Clarke
source

Merci pour la réponse complète. Cependant, comme vous l'avez dit, il est assez facile de trouver des informations sur la théorie des domaines et sur la théorie des catégories. Et, en fait, beaucoup. Mais c'est le problème, les connaissances sont réparties sur tellement de pages de livres, de conventions et de notations, que leur accès (même avec Google) devient non trivial. Je suppose que la différence est entre avoir une étagère pleine de manuels et un bon ouvrage de référence qui ne fait que citer les relations et les citations.

— Ohad Kammar

Une approche pour résoudre ce problème pour les générations futures consiste à écrire votre propre dictionnaire de termes tels que vous les rencontrez.

— Dave Clarke

Peut-être développer notre propre version de ncatlab ?

— Uday Reddy

Que diriez-vous de demander à votre conseiller? Il a inventé une bonne partie de la théorie des domaines.

— Andrej Bauer
source

gloussements Comme je l'ai dit ci-dessus, la pensée m'est venue à l'esprit lorsque nous avons discuté de certaines notions théoriques de catégorie dans différents domaines. Ma pensée exacte était: il devrait sûrement y avoir un meilleur moyen que de demander à un expert de parcourir toute la littérature ou de deviner carrément ...

— Ohad Kammar