Conditions suffisantes pour l'effondrement de la hiérarchie polynomiale (PH)

Quelles sont les affirmations (peu connues) selon lesquelles, si elles sont vraies, le PH doit s'effondrer?

Les réponses contenant une courte assertion de haut niveau avec des références sont appréciées. J'ai essayé de faire une recherche inversée sans trop de chance.

Il existe un nombre (croissant) de résultats de complexité paramétrés où l'existence d'une nucléation de taille polynomiale implique l'effondrement du PH au troisième niveau. La technique centrale est donnée dans [1], en s'appuyant sur des travaux antérieurs (référencés dans [1]).

À titre d'exemple simple, le problème -Path est la version paramétrée du problème Longest Path:$k$

$k$ -Path Instance : un graphe et un entier . Paramètre : . Question : contient-il un chemin de longueur ? G k k G k
$G$$k$
$k$
$G$$k$

Ce problème est en FPT (avec des algorithmes quelque peu pratiques), mais en [2] ils montrent que s'il a un noyau de taille polynomiale (en ), alors le PH s'effondre en . (La présentation actuelle est généralement formulée comme un résultat de kernalisation négatif à moins que NP coNP / poly ou coNP NP / poly, donc la recherche de quelque chose comme "pas de noyau polynomial à moins que" filme beaucoup de résultats.)Σ P 3 ⊆ $k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Références

1. HL Bodlaender, BMP Jansen et S. Kratsch, «Kernelization lower bounds by cross-composition», SIAM J. Discrete Math., 28 (2014), p. 277–305. [version arXiv]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, «On problems without polynomial kernels», Journal of Computer and System Sciences, 75 (8): 423-434. 2009. [Version hébergée à Stanford]

Voici une autre condition intéressante dans laquelle la hiérarchie polynomiale s'effondre au troisième niveau: supposons qu'un langage NP-complet ait une auto-réduction aléatoire (non adaptative), puis la hiérarchie polynomiale s'effondre en . Pour référence: Regardez les notes de Luca Trevisan . (Théorème 67)$\Sigma_{3}^{P}$

Une autre condition intéressante est la suivante:

Nous savons que l'approximation de est dans B P P N P (maintenant B P P dans Σ P 2 fait approximativement # 3 S A T dans Σ P 3 ).$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

En outre, le théorème de Toda, .$PH \subseteq P^{\#P}$

En combinant ces deux, nous obtenons: Si approximer équivaut à calculer # 3 S A T exactement, alors la hiérarchie polynomiale s'effondre.$\#3SAT$$\#3SAT$

L'effondrement de PH est impliqué par l'effondrement de la hiérarchie booléenne . Le résultat original est dû à Kadin [1]; il a été affiné par Chang et Kadin [2] pour montrer que

Les références:

[1] Jim Kadin, La hiérarchie polynomiale temporelle s'effondre si la hiérarchie booléenne s'effondre , SIAM Journal on Computing 17 (1988), no. 6, pp. 1263-1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Richard Chang et Jim Kadin, La hiérarchie booléenne et la hiérarchie polynomiale: une connexion plus étroite , SIAM Journal on Computing 25 (1996), no. 2, pp. 340–354, doi: 10.1137 / S0097539790178069 .

Le calcul de solutions uniques aux problèmes effondre P H ( Hemaspaandra-Naik-Ogihara-Selman ), mais vous devez être un peu prudent sur la façon de formaliser cette déclaration. (Par exemple, on ne sait pas si N P = U P effondre P H. ) Une formalisation est la suivante:$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

Supposons qu'il existe un tel que pour chaque formule 3SAT φ , si φ n'est pas satisfaisant, il n'y a pas de x tel que ( φ , x ) ∈ L , et si φ est satisfaisable, alors il y a un x unique tel que ( φ , x ) ∈ L . Puis P H s'effondre.$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Une autre formalisation est:

implique l'effondrement de P $\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

Il existe une grande sélection de résultats qui tiennent en supposant que PH ne s'effondre pas. Soit , c'est-à-dire que P H ne s'effondre pas. Ces résultats peuvent ensuite être résumés comme $A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$$A \implies B$

$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. $\mathbb{PH}$
2. $\mathbb{PH}$

$\mathbb{PH}$

En voici quelques-unes succinctes:

1. $PSPACE \subseteq P/poly$
2. $EXP \subseteq P/poly$
3. $NP \subseteq P/log$