Complexité de la version de recherche de 2-SAT en supposant

Si , alors il y a un algorithme de logspace qui résout la version de décision de 2-SAT. $\mathsf{L = NL}$

Est-il connu que implique qu'il existe un algorithme d'espace de journalisation pour obtenir une affectation satisfaisante , lorsqu'il reçoit une instance 2-SAT satisfaisante en entrée? $\mathsf{L = NL}$
Sinon, qu'en est-il des algorithmes qui utilisent l'espace sub-linéaire (dans le nombre de clauses)?

sat search-problem logspace

— Niel de Beaudrap
source

Étant donné un 2-CNF satisfaisable , vous pouvez calculer une affectation satisfaisante particulière par une fonction NL (c'est-à-dire qu'il existe un prédicat NL qui vous indique si est vrai) . Une façon de le faire est décrite ci-dessous. J'utiliserai librement le fait que NL est fermé sous -reductions, donc les fonctions NL sont fermées sous composition; c'est une conséquence de NL = coNL. $\phi$ $e$ $P(\phi,i)$ $e(x_i)$ $\mathrm{AC}^0$

Soit un 2-CNF satisfaisable. Pour tout littéral , soit le nombre de littéraux accessibles depuis par un chemin dirigé dans le graphe d'implication de , et le nombre de littéraux à partir desquels est accessible. Les deux sont calculables en NL. $\phi(x_1,\dots,x_n)$ $a$ $a^\to$ $a$ $\phi$ $\let\ot\leftarrow a^\ot$ $a$

Observez que , et , en raison de la symétrie asymétrique du graphe d'implication. Définissez une affectation pour que $\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$ $\ob a^\ot=a^\to$ $e$

si , alors ; $a^\ot>a^\to$ $e(a)=1$
si , alors ; $a^\ot<a^\to$ $e(a)=0$
si , soit minimal tel que ou apparaisse dans la composante fortement connectée de (il ne peut pas être les deux, car est satisfaisable). Mettez si apparaît, et sinon. $a^\ot=a^\to$ $i$ $x_i$ $\ob x_i$ $a$ $\phi$ $e(a)=1$ $x_i$ $e(a)=0$

La symétrie asymétrique du graphique implique que , donc c'est une affectation bien définie. De plus, pour toute arête dans le graphe d'implication: $e(\ob a)=\ob{e(a)}$ $a\to b$

Si n'est pas accessible depuis , alors et . Ainsi, implique . $a$ $b$ $a^\ot<b^\ot$ $a^\to>b^\to$ $e(a)=1$ $e(b)=1$
Sinon, et sont dans le même composant fortement connecté, et , . Ainsi, . $a$ $b$ $a^\ot=b^\ot$ $a^\to=b^\to$ $e(a)=e(b)$

Il s'ensuit que . $e(\phi)=1$

— Emil Jeřábek soutient Monica
source

C'est sympa! Y a-t-il une référence?

— Ryan Williams

Je l'ai juste préparé, donc je ne sais pas, mais il semble assez facile pour quelqu'un de l'avoir observé plus tôt. Mon inspiration était l'argument selon lequel le tri topologique des ordres partiels peut être effectué dans TC ^ 0, d'où les ts de graphes acycliques en NL; cela a une référence positive, mais je ne suis pas au bureau pour le moment, il est donc difficile pour moi de le chercher.

— Emil Jeřábek soutient Monica le

Le résultat selon lequel des affectations satisfaisantes peuvent être calculées dans FNL apparaît avec un argument différent dans Cook, Kolokolova: Une théorie de second ordre pour NL, et avec un peu plus de détails dans Cook, Nguyen: Fondements logiques de la complexité de la preuve. Cependant, j'avoue que je ne peux pas comprendre comment cela est censé fonctionner. Pour autant que je sache, la propriété (307) laissée en exercice au lecteur dans le livre C&N est tout simplement fausse.

— Emil Jeřábek soutient Monica le