La plus grande cellule dans un arrangement

Q . Quelle est la complexité de trouver la plus grande cellule délimitée par le volume dans un agencement de hyperplans de dimension? $n$ $d$

Je sens que je devrais le savoir ... Mais je ne trouve pas de référence définitive.

Est-ce ? Que diriez-vous de la spécialisation : la cellule délimitée la plus grande surface dans un arrangement de lignes? $\Omega(n^d)$ $d{=}2$

computational-geometry high-dimensional-geometry arrangements

— Joseph O'Rourke
source

En quelque sorte, faire mieux que semble difficile. Si la cellule est nettement plus grande que sa taille moyenne attendue, on peut utiliser l'échantillonnage pour la trouver. Formellement, supposons que les cellules délimitées (dans le plan) forment un polygone de zone (ce polygone peut être calculé en temps quasi linéaire dans le plan). Supposons que la plus grande cellule délimitée dans la disposition des lignes ait l'aire . Exemple, points de - et soit l'ensemble de points résultant. Avec une probabilité élevée, l'un des points tombe à l'intérieur de , et le calcul de toutes les faces dans l'arrangement contenant des points de $O(n^d)$ $1$ $Q$ $C$ $\alpha \gg 1/n^2$ $m = (\log n)/\alpha$ $Q$ $P$ $C$ $P$ prend temps en utilisant la magie standard (c'est-à-dire des algorithmes pour calculer plusieurs visages dans l'agencement des lignes). $O(( n^{2/3} m^{2/3} + n + m)*\mathrm{polylog})$

Il est maintenant simple d'appliquer une recherche binaire sur , pour obtenir un algorithme qui calcule la plus grande cellule, dans le temps , où est la fraction de l'aire de la plus grande cellule par rapport à l'aire totale des cellules délimitées (c'est-à-dire l'aire de ). $\alpha$ $O\Bigl( \bigl(n + 1/\alpha + n^{2/3}/\alpha^{2/3}\bigr) \mathrm{polylog n}\Bigr)$ $\alpha$ $Q$

— Sariel Har-Peled
source

α ≫ 1 / n^{2}

$\alpha \gg 1/n^2$