Portée de la barrière des preuves naturelles

La barrière des preuves naturelles de Razborov et Rudich déclare que sous des hypothèses cryptographiques crédibles, on ne peut pas espérer séparer NP de P / poly en trouvant des propriétés combinatoires de fonctions constructives, grandes et utiles. Il existe plusieurs résultats bien connus qui parviennent à échapper à la barrière. Il existe également plusieurs articles discutant d'éventuelles lacunes dans les trois conditions, comme le résultat de Chow montrant que la barrière est sensible aux violations faibles de la largeur, et un article récent de Chapman et Williamssuggérant comment éviter potentiellement la barrière en assouplissant la condition d'utilité. Ma question est de savoir s'il existe des exemples, ou même la possibilité, d'éviter la barrière des preuves naturelles non pas en violant la constructivité, l'ampleur ou l'utilité, mais en tombant entièrement en dehors de son champ d'application. Autrement dit, il n'est pas du tout évident pour moi pourquoi chaque méthode de preuve potentielle devrait être basée sur la recherche de «propriétés» combinatoires, puis sur le partitionnement de toutes les fonctions en celles qui satisfont ou non à la propriété. Pourquoi ce cadre de fonctionnement doit-il s'appliquer à toutes les preuves possibles, et si ce n'est pas le cas, à quoi ressembleraient les autres types de preuves?

Soit une fonction, et soit une classe d'algorithmes travaillant sur des tranches finies de . Chaque circuit minorant tout ce qui est une preuve que , pour certains et certains . Considérons la "propriété combinatoire des fonctions booléennes" , telle que$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$$C$$f$$f \notin C$$f$$C$${\cal P}_f$

${\cal P}_f(f) = 1$ et pour tous les .${\cal P}_f(g) = 0$$g \neq f$

Une preuve que est une preuve que est utile contre , dans la terminologie de Razborov et Rudich. Autrement dit, "l'utilité" est totalement inévitable - il n'y a aucun moyen de "sortir de son champ d'application". Si vous avez prouvé un circuit inférieur, vous avez donné des propriétés utiles.$f \notin C$${\cal P}_f$$C$

Notez que, si , alors est également constructif, dans la terminologie de Razborov et Rudich. Ainsi, pour les fonctions calculables dans mais pas dans (disons) , la constructivité s'appliquerait également à au moins une propriété des fonctions booléennes utile contre .P f f E P / p o l y P / p o l $f \in TIME[2^{O(n)}]$${\cal P}_f$$f$$E$$P/poly$$P/poly$

Ainsi, Razborov et Rudich sont plus fondamentaux que vous ne le pensez au départ.

Vous avez raison: le théorème des preuves naturelles concerne les propriétés naturelles (et uniquement de manière informelle les preuves). Razborov lui-même a écrit deux articles à peu près en même temps sur la classe des preuves formelles et la complexité des limites inférieures:

• Arithmétique bornée et limites inférieures dans la complexité booléenne , 1995
• Improbabilité des limites inférieures sur la taille du circuit dans certains fragments d'arithmétique bornée , 1995

La première étudie la formalisation des preuves de borne inférieure existantes dans de faibles fragments d'arithmétique (bornes supérieures sur la dureté de la preuve de la complexité de la théorie des bornes inférieures).

Le deuxième article traite des limites inférieures de la dureté de la démonstration des limites inférieures de la théorie de la complexité: de combien de mathématiques avons-nous besoin pour prouver ? $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$Avons-nous besoin de ? ? ? Peut-être au moins ? ( est considéré comme la théorie correspondant au raisonnement utilisant des concepts dans ). Un résultat idéal pour le deuxième article aurait été:ZFPAPVPV$ZFC$$ZF$$PA$$PV$$PV$$\mathsf{P}$

P ≠ N $PV$ ne peut pas prouver (une formalisation raisonnable de) .$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Pour ce faire, nous aurions besoin de formaliser l'idée informelle selon laquelle nous pouvons extraire les propriétés naturelles des preuves de limite inférieure en . Cependant, les résultats du deuxième article sont beaucoup plus faibles que cela.$PV$

Il est donc possible, à notre connaissance, que ait une preuve qui n'utilise aucun concept en dehors de . En fait, il est possible, à notre connaissance, que des théories beaucoup plus faibles peuvent prouver la séparation.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P}$