Problèmes avec de grands écarts de complexité ouverts

Cette question concerne les problèmes pour lesquels il existe un grand écart de complexité ouvert entre la borne inférieure connue et la borne supérieure, mais pas en raison de problèmes ouverts sur les classes de complexité elles-mêmes.

Pour être plus précis, disons qu'un problème a des classes d'espaces $A,B$ (avec $A\subseteq B$ , non défini de manière unique) si $A$ est une classe maximale pour laquelle nous pouvons prouver qu'il est dur, et est une borne supérieure connue minimale , c'est-à-dire que nous avons un algorithme en résolvant le problème. Cela signifie que si nous finissons par découvrir que le problème est complet avec , cela n'aura pas d'impact sur la théorie de la complexité en général, par opposition à la recherche d'un algorithme pour un problème complet.B B C A ⊆ C ⊆ B P N $A$$B$$B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

Je ne suis pas intéressé par les problèmes avec et , car c'est déjà l'objet de cette question .B = N $A\subseteq P$$B=NP$

Je suis à la recherche d'exemples de problèmes avec les classes de lacunes qui sont autant que possible. Pour limiter la portée et préciser la question, je suis particulièrement intéressé par les problèmes avec et , ce qui signifie que l'appartenance à et -complétude sont cohérentes avec les connaissances actuelles, sans faire s'effondrer les classes connues (disons les classes de cette liste ).B ⊇ E X P T I M E P E X P T I M $A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

Le problème d'équivalence de nœuds .

Étant donné deux nœuds tracés dans l'avion, sont-ils topologiquement les mêmes? Ce problème est connu pour être décidable, et il ne semble pas y avoir d'obstacles de complexité informatique à son existence en P. La meilleure borne supérieure actuellement connue sur sa complexité temporelle semble être une tour de s de hauteur c n , où c = 10 10 6 , et n est le nombre de croisements dans les diagrammes de nœuds. Cela vient d'une limite de Coward et Lackenby sur le nombre de mouvements Reidemeister nécessaires pour prendre un nœud à un équivalent. Voir l' article le plus récent de Lackenby$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ pour quelques résultats connexes plus récents et pour la forme explicite de la borne que je donne ci-dessus (page 16).

Voici une version du problème de taille de circuit minimum (MCSP): étant donné la table de vérité à bits d'une fonction booléenne, a-t-elle un circuit de taille au plus 2 n / 2 ?$2^n$$2^{n/2}$

Connu pour ne pas être dans . Contenu dans N P . On pense généralement qu'il s'agit de N P- dur, mais c'est ouvert. Je crois que ce n'est même pas connu pour être A C 0 [ 2 ] -hard. En effet, des travaux récents avec Cody Murray (à paraître dans CCC'15) montrent qu'il n'y a pas de réduction uniforme de NC0 de PARITY à MCSP.$AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

La complexité du calcul d'un bit (spécifié en binaire) d'un nombre algébrique irrationnel (tel que ) a la borne supérieure la plus connue de P P P P P P P via une réduction du problème B i t S L P qui connaît cette borne supérieure[ABD14]. D'un autre côté, nous ne savons même pas si ce problème est plus difficile que de calculer la parité denbits - pour autant que nous sachions, ce problème pourrait être dansA C 0 . Notez cependant que nous savons qu'aucun automate fini ne peut calculer les bits d'un nombre algébrique irrationnel[AB07]$\sqrt{2}$$\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$$\mathsf{BitSLP}$$n$$\mathsf{AC^0}$

Un autre problème topologique naturel, similaire dans son esprit à la réponse de Peter Shor, est l' intégration des complexes simpliciaux abstraits à 2 dimensions dans $\mathbb{R}^3$ . En général, il est naturel de se demander quand peut-on effectivement / efficacement décider qu'un complexe simplicial de dimension k abstraite$k$ peut être intégré dans . Pour k = 1 et d = 2, c'est le problème de planarité du graphe et il a un algorithme de temps linéaire. Pour k = 2 et d = 2, il existe également un algorithme de temps linéaire . le$\mathbb{R}^d$$k=1$$d=2$$k=2$$d=2$ , d = 3 était ouvert jusqu'à l'année dernière, date à laquelle il a étédémontré qu'il était décidable par Matousek, Sedgwick, Tancer et Wagner. Ils disent que leur algorithme a unelimite de tempsrécursive primitive, maisplus grande qu'une tour d'exponentielles. D'un autre côté, ils spéculent qu'il pourrait être possible de mettre le problème en NP, mais aller au-delà serait difficile. Cependant, il ne semble pas y avoir de preuve solide qu'un algorithme de polytime est impossible.$k=2$$d=3$

Ce dernier article contient de nombreuses références pour une lecture plus approfondie.

Les automates à compteurs multiples (MCA) sont des automates finis équipés de compteurs qui peuvent être incrémentés et décrémentés en une seule étape, mais ne prennent que des nombres entiers> = 0. Contrairement aux machines Minsky (alias automates de compteur), les MCA ne sont pas autorisés à tester si un compteur est égal à zéro.

L'un des problèmes algorithmiques avec une énorme lacune liée aux MSC est le problème d'accessibilité. Par exemple, si l'automate peut atteindre, à partir d'une configuration avec l'état initial et tous les compteurs zéro, une configuration avec un état acceptant, et tous les compteurs zéro à nouveau.

Le problème est difficile pour EXPTIME (comme l'a montré Richard Lipton en 1976), décidable (Ernst Mayr, 1981) et résoluble en Fω3 (merci, Sylvain, de l'avoir signalé). Un énorme écart.

(Quantum Merlin-Arthur avec deux étalons non enchevêtrées): certainement Q M A -Hard, mais seulement connu pour être en N E X P . $\mathsf{QMA}(2)$$\mathsf{QMA}$$\mathsf{NEXP}$

$\mathsf{EXPSPACE}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Le problème de Skolem (étant donné une récurrence linéaire avec des cas de base entiers et des coefficients entiers, atteint-il jamais la valeur 0) est connu pour être NP-difficile et n'est pas connu pour être décidable. Pour autant que je sache, quelque chose entre les deux serait conforme à nos connaissances actuelles sans effondrement des classes de complexité standard.