Pourquoi les portes mod_m sont-elles intéressantes?

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Ryan Williams vient d’afficher sa limite inférieure sur ACC , la classe de problèmes qui ont des circuits de profondeur constante avec des ouvertures et des portes sans bornes AND, OR, NOT et MOD_m pour tous les m possibles.

Qu'est-ce qui rend les portes MOD_m si spéciales?

Ils permettent de simuler une arithmétique sur n'importe quel anneau Z_m.
Avant le résultat de Ryan, jeter les portes MOD_m dans le mixage donnait la première classe pour laquelle les limites inférieures connues ne fonctionnaient pas.

Existe-t-il une autre raison naturelle d'étudier les portes MOD_m?

— Dana Moshkovitz
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$ACC^0$ est une classe de complexité naturelle.

1) Barrington a montré que le calcul sur les monoïdes non résolus capturait tandis que les monoïdes résolvables capturaient . $NC^1$ $ACC^0$

2) Récemment, Hansen et Koucky ont montré un beau résultat: les programmes de branchement planaires de largeur identique et de dimensions multiples correspondent exactement à . Sans la condition de planéité, nous obtenons bien sûr le résultat de Barrington qui caractérise . $ACC^0$ $NC^1$

La différence entre et est donc une théorie des groupes et une autre topologique. $ACC^0$ $NC^1$

Ajouté: Dana, un exemple simple de groupe résoluble est , le groupe symétrique par rapport aux éléments. Sans entrer dans les détails, tout groupe soluble a une série dont les quotients sont cycliques. Cette structure cyclique est reflétée en tant que mod gates lors de la construction d'un circuit pour résoudre des problèmes de mots sur le groupe. $S_4$

Sur la planéité, on voudrait croire que la planéité peut imposer des restrictions / des goulots d'étranglement dans le flux d'informations. Ce n'est pas toujours vrai: par exemple, les variantes de 3SAT plan sont connues pour être NP-complètes. Cependant, dans les petites classes, ces restrictions sont plus "susceptibles" de tenir.

Dans la même veine, Wigderson a montré NL / poly = UL / poly en utilisant le lemme d’isolation. Nous ne savons pas comment dérandonner le lemme d'isolation par-dessus des DAG arbitraires pour obtenir NL = UL, mais nous savons le faire pour les DAG planaires.

— V Vinay
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Merci beaucoup pour l'information! J'aimerais en savoir plus sur l'intuition de ces résultats. En ce qui concerne ma question: votre argument est essentiellement que [O (log n) profondeur, gates AND, OR, NOT] est naturel, et est une légère variation (vers des monoïdes résolvables plutôt que non résolvables, ou ramifications planaires plutôt que non ramifiées). Pourriez-vous élaborer un peu: donner des exemples de monoïdes intéressants pour le calcul et comment leur solvabilité est importante? Existe-t-il une motivation a priori pour s'intéresser à la question de savoir si un programme de branche est planaire ou non?

N C^{1}

$NC^1$

A C C

$ACC$

— Dana Moshkovitz

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A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

@Vinay: Etes-vous sûr que le résultat NL / poly = UL / poly est dû à Wigderson?

— Dai Le

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$\bmod m$ $m$ $\bmod p$

Considérons la classe des circuits à profondeur constante qui ne comprennent que des portes , des entrées et des constantes aux feuilles. Ensuite, on peut facilement montrer que la fonction OU (par exemple) ne peut pas être calculée par de tels circuits, quelle que soit leur taille. (Cela est dû au fait que l'un de ces circuits calcule un polynôme de degré faible sur et que le degré de OU est ). $\bmod p$ $\mathbb{F}_p$ $n$

Cependant, si nous considérons des circuits composés uniquement de gates où a au moins deux facteurs premiers distincts, il existe un circuit de profondeur (de taille exponentielle) pour la fonction OU. $\bmod m$ $m$ $2$

Et avant le résultat de Ryan, était, je suppose, la classe la plus petite pour laquelle nous n’avions aucune limite inférieure décente. $AC^0[\bmod 6]$

— Ramprasad
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Addendum à la dernière phrase: Il était déjà connu que le calcul de avec des circuits à profondeur constante en utilisant les portes AND, OR, NOT et pour les nombres premiers nécessitait un nombre exponentiel de portes. (Il existe également une extension aux composites relativement premiers.) Comme 6 est le plus petit composé de deux nombres premiers distincts, est la fonction de calcul "la plus facile" pour laquelle aucune limite inférieure exponentielle n'était connue.

M O D_{q}

$MOD_q$

M O D_{p}

$MOD_p$

p \neq q

$p \ne q$

M O D_{6}

$MOD_6$

— Daniel Apon

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Juste pour préciser vos deux points:

Si nous travaillons à comprendre le calcul, le comptage modulaire est l’une des frontières de notre compréhension. Le comptage modulaire est l’un des phénomènes les plus simples et les plus naturels du calcul, mais il semble que nous en comprenions si peu. Nous ne pouvons pas exclure la possibilité que des circuits de taille polynomiale de profondeur 3 avec seulement des portes Mod6 puissent calculer toutes les fonctions de NP. Il est toutefois conjecturé que de tels circuits ne peuvent calculer que des fonctions avec une taille de support importante et ne peuvent donc pas calculer une fonction très simple comme AND. En ce qui concerne la limite supérieure, la situation est similaire, nous n’avons aucun résultat non négligeable.

Ces questions sont également très intéressantes d’un point de vue purement mathématique car elles sont étroitement liées à des questions très naturelles sur les polynômes et les matrices sur Z_m. Par exemple, nous n'avons pas de bonnes bornes inférieures pour le rang d'une matrice codiagonale de nxn sur Z_6. Une matrice codiagonale a des 0 sur la diagonale et une dizerale non azotée.

— aada
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Les personnes intéressées par le principe "prime versus composite modul" doivent consulter la page d'accueil de Vince Grolmusz: grolmusz.pitgroup.org

— Stasys