Générateur pseudo-aléatoire pour automates finis

Soit une constante. Comment peut - on construire prouvablement un générateur pseudo - aléatoire que les fous -state automates finis? $d$ $d$

Ici, un automate fini state a nœuds, un nœud de début, un ensemble de nœuds représentant des états acceptés et deux bords dirigés étiquetés 0, 1 sortant de chaque nœud. Il change d'état de manière naturelle lors de la lecture de l'entrée. Etant donné un , trouver telle sorte que pour tout automate fini state calculant une fonction , $d$ $d$ $\epsilon$ $f:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}^n$ $d$ $A$

| P_{x \sim U_{k}} (A (f (x)) = 1) - P_{x \sim U_{n}} (A (x) = 1) | < ϵ .

$|\mathbb P_{x\sim U_{k}}(A(f(x))=1)-\mathbb P_{x\sim U_n}(A(x)=1)|< \epsilon.$

Ici désigne la distribution uniforme sur variables, et nous voulons que soit aussi petit que possible (par exemple ). Je pense que est de l'ordre de , bien que nous puissions également poser la question de manière plus générale (ex. Le nombre de bits requis croîtrait-il avec ?). $U_k$ $k$ $k$ $\log n$ $d$ $n$ $n$

Quelques antécédents

La construction de générateurs pseudo-aléatoires est importante dans la dérandomisation, mais le problème général (PRG pour les algorithmes à temps polynomial) s'est jusqu'à présent révélé trop difficile. Il y a cependant eu des progrès sur les PRG pour le calcul en espace borné. Par exemple, cet article récent ( http://homes.cs.washington.edu/~anuprao/pubs/spaceFeb27.pdf ) donne une limite d'environ pour les programmes de branchement réguliers à lecture unique. La question avec les programmes de branchement généraux à lecture unique est toujours ouverte (avec ), donc je me demande si la réponse à cette simplification est connue. (Un automate fini est comme un programme de branchement à lecture unique où chaque couche est la même.) $\log n\log d$ $k=\log n$

automata-theory pseudorandomness pseudorandom-generators

— Holden Lee
source

il pourrait être utile de détailler / décrire certaines raisons pour lesquelles il s'agit d'une formulation naturelle du problème, à savoir les origines / bkg / détails / raisonnement de l'expression de probabilité. existe-t-il d'autres solutions connues de la question pour d'autres modèles? est-il lié au cadre PAC, etc.?

— vzn

J'ai ajouté un peu de fond.

— Holden Lee

peut-être que l'idée des ensembles de duper FSM (p12) fonctionnerait bien ici? ("Si L a un jeu de tromperie infini, alors L n'est accepté par aucun DFA.")

— vzn

Réponses:

Si est de l'ordre de vous pouvez écrire un programme de branchement de largeur constante en tant qu'automate à états finis et la longueur de graine logarithmique n'est pas connue. $d$ $n$

Mais si est très petit, disons une constante, alors vous pouvez faire mieux et obtenir une longueur de graine logarithmique - je pense, c'est quelque chose auquel j'ai pensé il y a des années mais que je n'ai jamais noté. L'astuce consiste à utiliser le résultat de Nisan RL SC . Fondamentalement, il montre que si vous recevez un programme de branchement, vous pouvez trouver une distribution de graine logarithmique qui le trompe. Son résultat s'étend à un petit nombre de programmes de branchement. Donc, si est une constante, vous pouvez énumérer tous les automates à états finis possibles et trouver une distribution qui les trompe tous. Cela devrait encore fonctionner tant que le nombre de programmes est polynomial en . $d$ $\subseteq$ $d$ $n$

— Manu
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Je pense que vous voulez dire RL SC.

\subseteq

$\subseteq$

— Holden Lee

quelque chose de proche de ce que vous demandez semble être prouvé dans Thm 2.10 p6 de ces notes de cours par O'Donnell, leçon 16: PRG de Nisan pour les petits espaces, mais il ne cite pas la référence d'origine pour la preuve. un simple énoncé du théorème en termes de FSM n'est pas donné dans cette référence mais est traduisible. (volontaires?) dans le théorème est une matrice de transition définissant un FSM. il y a d'autres théorèmes liés dans les notes. $M^n$

cette preuve apparemment même est également citée par RJlipton sur son blog "la garantie sur le générateur Nisans" . la preuve provient apparemment de l'article Quelle est la force du générateur pseudo-aléatoire de Nisan? David, Papakonstantinou, Sidiropoulos (2010). Notez également une question presque plus profonde et de meilleures limites sont liées à une séparation de classe de complexité majeure:

Ils soulignent, sans aucune preuve, que s'il y avait un PRG qui effectue polynomialement de nombreuses passes et dupe les machines de l'espace de journalisation, alors . $\mathsf{L} \neq \mathsf{NP}$

— vzn
source

notez, regardez plus loin, le papier DPS est une extension du papier Nisans [NIS92] dans leurs références aux machines à espace limité avec plusieurs passes. cette référence est N. Nisan. Générateurs pseudo-aléatoires pour le calcul dans l'espace. Combinatorica, 12 (4): 449–461, 1992. (également STOC'90).

— vzn

Peut-être que si vous lisez l'article de Nisan, vous remarquerez qu'il énonce son théorème en termes de FSM. Ce serait bien aussi si vous donnez des limites quantitatives

— Sasho Nikolov

notez que certaines déclarations du thm sont en termes de logspace TMs. voir aussi Tromper les modèles délimités par l'espace et les polynômes de bas degré une enquête , Li, Yang, sec 1.3 p6

— Tromper la

Cette question et le document original donnent une déclaration en termes de FSM. Votre commentaire n'est donc pas pertinent.

— Sasho Nikolov

Pouvez-vous simplement énoncer le théorème pertinent, dans la formulation FSM de l'article de Nisan, dans votre réponse? Pas de notes qui l'énoncent d'une manière différente, pas un document d'enquête qui l'indique d'une manière différente: énoncez d'abord la réponse réelle à la question réelle ? Y a-t-il quelque chose de difficile à comprendre pourquoi c'est une bonne chose à faire?

— Sasho Nikolov