Pour quoi c est la division par c dans AC0?

Supposons que notre entrée soit un binaire $x$ et que nous sortir $\lfloor x/c \rfloor$ , où $c$ est un entier constant. Ce n'est qu'un changement si $c$ est une puissance de deux, mais qu'en est-il des autres nombres? Pouvons-nous le faire avec un circuit à profondeur constante pour chaque $c$ ? Et $c=3$ ?

$x\bmod c$

cc.complexity-theory circuit-complexity ac0

— domotorp
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L'addition et la soustraction de nombres binaires sont dans $\mathsf{AC^0}$ .

Pour tout nombre constant , est réductible à la division par ( ): $c$ $x \bmod c$ $\mathsf{AC^0}$ $c$ $\lfloor x/c \rfloor$

x mod c = x - (\overset{c times}{\overset{⏞}{⌊ x / c ⌋ + \dots + ⌊ x / c ⌋}})

$x \bmod c = x - (\overbrace{\lfloor x/c \rfloor + \cdots + \lfloor x/c \rfloor}^{c \text{ times}})$

On sait que est difficile pour pour tout qui n'est pas une puissance de . Ainsi est difficile pour pour tout qui n'est pas une puissance de . $x \bmod c$ $\mathsf{AC^0}$ $c$ $2$ $\lfloor x/c \rfloor$ $\mathsf{AC^0}$ $c$ $2$

Comme l'a noté Emil dans les commentaires il y a une réduction facile pour premier impair de (qui est, avec ) pour avec entrée binaire: nous utilisons uniquement des bits d'entrée qui sont des multiples de et utilisons FLT ( ). $c$ $\mathit{MOD}_c$ $\sum_ix_i\bmod c$ $x_i\in\{0,1\}$ $x\bmod c$ $p-1$ $2^{(p-1)i} \bmod p = 1$

— daniello
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Le même argument s'applique à tout qui n'est pas une puissance de 2.

c

$c$

— Emil Jeřábek

Il est facile de montrer que n'est pas AC ^ 0 pour les autres : par exemple, nous pouvons supposer que est un nombre premier impair, puis vous pouvez réduire MOD_p en utilisant chaque ème bit . Ou vous pouvez appliquer la classification de Barrington-Thérien: c'est une langue régulière, et son monoïde syntaxique est un groupe non trivial.

x mod c

$x\bmod c$

c

$c$

c = p

$c=p$

(p - 1)

$(p-1)$

— Emil Jeřábek

@Emil Jerabek: Merci, c'était exactement l'aide dont j'avais besoin :)

— daniello