Implications des variantes de l'hypothèse de Riemann dans le TCS

L' hypothèse de Riemann vieille de plus d'un siècle et demi a des implications profondes en mathématiques et un grand édifice de la théorie mathématique est maintenant prouvé conditionnellement sur elle et de nombreuses variantes. Je suis récemment tombé sur une référence à un résultat conditionnel dans TCS basé sur l'hypothèse de Riemann. Je me demande donc,

quelles sont les implications majeures de l'hypothèse de Riemann dans le TCS?

Pour commencer, voici un exemple d'un article récent, Homomorphism Polynomials complete for VP de Durand, Mahajan, Malod, de Rugy-Altherre et Saurab. De l'introduction du papier:

L'une des questions ouvertes les plus importantes de la théorie de la complexité algébrique est de décider si les classes VP et VNP sont distinctes. Ces classes, définies pour la première fois par Valiant dans [13, 12], sont les analogues algébriques des classes de complexité booléennes P et NP, et les séparer est essentiel pour séparer P de NP (au moins de manière non uniforme et en supposant l'hypothèse de Riemann généralisée, sur le champ , [3]). $\mathbb{C}$

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— vzn
source

Il est bien connu que l'HR généralisée implique que nous pouvons dérandomiser le test de primalité de Miller-Rabin. Mais je ne sais pas s'il y a quelque chose de plus profond ou de plus large à ce sujet.

— usul

Hmm, je pense qu'il y a aussi une relation avec le problème de trouver rapidement un grand nombre déterministe ( c'est-à-dire étant donné

n

$n$ en binaire, trouver un nombre premier plus grand que

). J'espère que quelqu'un de bien informé pourra commenter.

n

$n$

— usul

@usul RH implique que pour tout grand

, il existe un nombre premier dans

, ce qui donne un algorithme déterministe quelque peu non trivial, mais est très loin de ce que nous voulons. De plus, nous savons comment obtenir le même temps de fonctionnement sans RH, voir le document de projet polymath arxiv.org/abs/1009.3956 . Je crois qu'un meilleur algorithme déterministe pour trouver des nombres premiers en supposant que l'HR serait un résultat significatif.

n

$n$

[n, n + n^{0.5 + o (1)}]

$[n, n + n^{0.5 + o(1)}]$

— Sasho Nikolov

De plus, une extension de RH donne une bonne limite supérieure sur le moins premier dans les progressions arithmétiques (voir, par exemple, la section 5.5.4 dans shoup.net/ntb/ntb-v2.pdf ).

— Alex Golovnev

Réponses:

Tout d'abord, je ne suis au courant d'aucune application CS de l'hypothèse de Riemann en tant que telle. Il existe différentes applications des généralisations d'HR.

Deuxièmement, une note terminologique: contrairement à la croyance populaire, il n'y a rien de tel que «l'hypothèse de Riemann généralisée» ou «l'hypothèse de Riemann étendue». Ces deux termes sont plus ou moins utilisés de façon interchangeable dans la littérature comme dénotation libre de toute sorte de généralisation de l'humidité relative à une classe de -functions. Ils n'ont pas de sens spécifique fixe, ou du moins aucun cohérent entre les articles de différents auteurs (ou même les différents articles du même auteur). $L$

$\mathbb C$ $\zeta$

$m$ $\chi(x)=-1$ $x=O((\log m)^2)$ $O$ $L$ $\zeta$ $L$ $\zeta$

$\sqrt x$

— Emil Jeřábek
source

L

$L$

ζ

$\zeta$

@ François: Je suis aussi personnellement habitué à cette terminologie. Mais par exemple, le livre assez bien connu de Bach et Shallit le définit exactement à l'opposé (ce qui contredit d'ailleurs l'usage de Bach dans son article «Explicit bounds ...»).

— Emil Jeřábek

La FACTORISATION dans le PPA n'est-elle pas une implication intéressante? arxiv.org/abs/1207.5220

— domotorp

Peut être. Ceci est un exemple de "Les conséquences sont que l'on peut dérandomiser plusieurs algorithmes, tels que ..." dans l'avant-dernier paragraphe, et je ne pense pas qu'il soit nécessaire d'annoncer mon propre travail dans la réponse.

— Emil Jeřábek, le

En supposant une hypothèse de Riemann étendue, LM Adleman et HW Lenstra ont donné un algorithme de temps polynomial pour trouver un polynôme irréductible d'un degré souhaité sur un champ fini: http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/PUBLICATIONS/1986a/art .pdf

— Lin Bingkai
source