Complexité en ligne droite des monômes

Soit $k$ un champ. Comme d'habitude, pour un $f\in k[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ nous définissons $L(f)$ comme la complexité linéaire de $f$ sur $k$ . Soit $F$ l'ensemble des monômes de $f$ , à savoir les monômes qui apparaissent en $f$ avec un coefficient non nul.

Est-il vrai que $\forall m\in F:L(m)\le L(f)$ ?

Même une limite supérieure plus faible pour $L(m)$ est connue?

cc.complexity-theory algebraic-complexity arithmetic-circuits

— Gorav Jindal
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Réponses:

f = (Σ_{i = 1}^{n} x_{i})^{2^{n}}

$f=(\Sigma_{i=1}^n x_i)^{2^n}$

(\binom{2^{n} + n - 1}{n - 1}) \approx 2^{n^{2}}

${2^n+n-1\choose n-1} \approx 2^{n^2}$

L (f) = O (n)

$L(f)=O(n)$

2^{O (n \log n)}

$2^{O(n\log n)}$

O (n)

$O(n)$

f

$f$

m

$m$

L (m) = \tilde{Ω} (L^{2} (f))

$L(m)=\widetilde\Omega(L^2(f))$

— domotorp
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Comme un petit exemple constructif basé sur la réponse de domotorp, on peut prendre avec tandis que .

f = (x + y)^{8}

$f=(x+y)^8$

L (f) = 4

$L(f)=4$

L (x^{7} y) = L (x^{7}) + 1 = 5

$L(x^7y)=L(x^7)+1=5$

— Bruno

@domotorp, Merci pour la belle réponse. Cela semble-t-il également être la limite supérieure? Ou peut-il y avoir de meilleures limites inférieures?

— Gorav Jindal

Je ne sais pas, mais comme cet exemple était si simple, je suppose que l'écart peut être plus grand, peut-être même exponentiel.

— domotorp

J'ai une "preuve" qu'il existe une borne supérieure linéaire ... Où je me trompe (puisque vous avez prouvé une borne inférieure quadratique)? Il se présente comme suit: Avec une SLP de taille , vous calculer un polynôme de degré total . Maintenant, a un SLP de taille au plus avec exponentiation binaire. Un monôme degré- -variable a alors un SLP de taille au plus (borne très grossière): calculer tous les , , puis leur produit. Ainsi, si nous considérons un polynôme , son degré total est au plus , et chaque monôme a une SLP de taille au plus

L

$L$

\leq 2^{L}

$\le 2^L$

x^{D}

$x^D$

2 \log D

$2\log D$

D

$D$

n

$n$

2 n \log D + n - 1

$2n\log D+n-1$

x_{i}^{D_{i}}

$x_i^{D_i}$

D_{i} \leq D

$D_i\le D$

f

$f$

2^{L (f)}

$2^{L(f)}$

2 n L (f) + n - 1

$2nL(f)+n-1$ .

— Bruno

@Bruno: Belle preuve et il n'y a rien de mal à cela, mais ce n'est pas linéaire, car vous multipliez et . Mais comme nous savons que peut dépendre au maximum de variables , nous pouvons supposer , ce qui implique la borne quadratique requise. Ainsi .

n

$n$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

L (f) + 1

$L(f)+1$

n \leq L (f) + 1

$n\le L(f)+1$

L (m) = O (L^{2} (f))

$L(m)=O(L^2(f))$

— domotorp

Remarque: Il s'agit d'une extension d'un commentaire précédent, car l'OP a explicitement demandé des limites supérieures plus faibles.

Le degré total du polynôme est limité par car chaque opération peut au plus doubler le degré du polynôme. Ainsi, pour chaque , . $f$ $2^{L(f)}$ $m\in M$ $\deg(m)\le 2^{L(f)}$

Maintenant, pour une variable et un degré , il y a un SLP qui contamine par exponentiation binaire si la taille est au maximum de . Pour un monôme , on peut calculer séparément chaque puis prendre leur produit. Ainsi où est le degré total de (qui est bien sûr une borne supérieure sur chaque ). $x$ $d$ $x^d$ $2\log(d)$ $m=x_1^{d_1}\dotsb x_n^{d_n}$ $x_i^{d_i}$ $L(m)\le 2n\log(d) + (n-1)$ $d$ $m$ $d_i$

Ensemble, on obtient pour : $m\in M$

L (m) \leq 2 n \log (\deg (m)) + (n - 1) \leq 2 n L (f) + (n - 1) .

$L(m)\le 2n\log(\deg(m))+(n-1)\le 2nL(f)+(n-1).$

Puisque , on peut conclure $n\le L(f)+1$

\forall m \in M, L (m) \leq 2 L (f)^{2} + 3 L (f) .

$\forall m\in M, L(m) \le 2L(f)^2+3L(f).$

Remarques. La limite comme indiqué est très approximative. En particulier, la borne supérieure de donnée est que le deuxième paragraphe n'est pas serré. Pourtant, la réponse de domotorp montre que l'on ne peut espérer une bien meilleure borne, et plus précisément que la dépendance quadratique à l'égard de ne peut pas être supprimée. Pour resserrer la construction, on pourrait utiliser les constructions les plus connues sur les chaînes d'addition . Notez que les limites précises ne sont toujours pas connues pour ce problème. $L(m)$ $L(f)$

— Bruno
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