Impact du programme de Grothendieck sur TCS

Grothendieck est décédé . Il a eu un impact massif sur les mathématiques du 20e siècle, se poursuivant jusqu'au 21e siècle. Cette question est posée quelque peu dans le style / l'esprit, par exemple, des contributions d' Alan Turing à l'informatique .

Quelles sont les principales influences de Grothendieck sur l'informatique théorique?

L'inégalité de Grothendieck , de ses jours en analyse fonctionnelle, a été initialement prouvée pour relier les normes fondamentales sur les espaces de produits tensoriels. Grothendieck a appelé l'inégalité "le théorème fondamental de la théorie métrique des espaces de produits tensoriels", et l'a publié dans un article désormais célèbre en 1958, en français, dans une revue brésilienne à tirage limité. Le document a été largement ignoré pendant 15 ans, jusqu'à ce qu'il soit redécouvert par Lindenstrauss et Pelczynski (après que Grothendieck avait quitté l'analyse fonctionnelle). Ils ont donné de nombreuses reformulations des principaux résultats de l'article, les ont liés à des recherches sur la somme absolue des opérateurs et des normes de factorisation, et ont observé que Grothendieck avait résolu des problèmes "ouverts" qui avaient été soulevés aprèsl'article a été publié. Pisier donne un compte rendu très détaillé de l'inégalité, de ses variantes et de son énorme influence sur l'analyse fonctionnelle dans son enquête .

L'inégalité de Grothendieck s'exprime très naturellement dans le langage des algorithmes d'optimisation et d'approximation combinatoires. Il dit que le problème d'optimisation non convexe, NP-dur est approximé jusqu'à une constante fixe par son semi-fini relaxation max { Σ i , j a i j ⟨ u i

$$\max\{x^TAy: x \in \{-1, 1\}^m, y \in \{-1, 1\}^n\}$$ où S n + m - 1 est la sphère unité en R n + $$\max\{\sum_{i,j}{a_{ij}\langle u_i, v_j\rangle}: u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{S}^{n+m-1}\},$$ $\mathbb{S}^{n+m-1}$$\mathbb{R}^{n+m}$. Les preuves de l'inégalité donnent des «algorithmes d'arrondi» et, en fait, l'arrondi aléatoire hyperplan de Goemans-Williamson fait le travail (mais donne une constante sous-optimale). Cependant, l'inégalité de Grothendieck est intéressante car l'analyse de l'algorithme d'arrondi doit être "globale", c'est-à-dire regarder ensemble tous les termes de la fonction objectif.

Cela dit, il ne faut pas s'étonner que l'inégalité de Grothendiecks ait trouvé une deuxième (troisième? Quatrième?) Vie en informatique. Khot et Naor étudient ses multiples applications et connexions à l'optimisation combinatoire.

L'histoire ne s'arrête pas là. L'inégalité est liée aux violations de l'inégalité de Bell en mécanique quantique (voir l'article de Pisier), a été utilisée par Linial et Shraibman dans des travaux sur la complexité de la communication, et s'est même avérée utile dans des travaux sur l'analyse de données privées (plug sans vergogne).

L'impact de Grothendieck peut être ressenti dans la théorie des types et la logique. Par exemple, le volume de plus de 700 pages de Bart Jacobs, Logic catégorique et théorie des types, donne un traitement uniforme de diverses théories de types ( théorie de type , où X ⊆ { simple , dépendant , polymorphe , d'ordre supérieur } ) basé sur la notion catégorique de Fibrations de Grothendieck (également appelées fibrations cartésiennes). De même, la notion de Topos , également due à Grothendieck, joue un rôle important en fournissant une sémantique catégorique aux logiques et aux théories de types, ce qui intéresse aussi bien les logiciens que les informaticiens théoriciens.$X$$X\subseteq \{ \text{simple},$ $\text{dependent},$ $\text{polymorphic},$ $\text{higher-order}\}$

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Je suppose que la vision de Mulmuley de la généralisation de l'hypothèse de Riemann sur des champs finis provenant des conjectures de Weil peut être considérée comme posant des questions qui avaient à l'origine des résultats fructueux de la cohomologie étale de Grothendieck.