Des conjectures de longue date prouvées par la suite trivialement par une implication

J'aimerais savoir s'il y a eu des conjectures qui n'ont pas été prouvées depuis longtemps dans le TCS, qui ont ensuite été prouvées par une implication d'un autre théorème, qui auraient pu être plus faciles à prouver.

Erdös et Pósa prouvé que pour tout entier et un graphe G soit G a k cycles disjoints ou il y a un ensemble de taille au plus f ( k ) sommets S ∈ G tel que G ∖ S est une forêt. (dans leur preuve f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k ) ).$k$$G$$G$$k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$

La propriété Erdös et Pósa d'un graphe fixe connu comme suit (pas une définition formelle):$H$

La classe de graphes admet la propriété Erdös-Pósa s'il existe une fonction f telle que pour tout graphe H ∈ C et pour tout k ∈ Z et pour tout graphe G il y a k copie isomorphe disjointe (wrt mineur ou subdivision) de H dans G ou il existe un ensemble de sommets S ∈ G , tels que | S | ≤ f ( k ) et G ∖ S n'a pas de copie isomorphe de H .$\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$

Après le résultat d'Erdös et Pósa pour une classe de cycles qui admettent cette propriété, il était difficile de trouver une classe appropriée . Dans le graphique mineur V a prouvé que chaque graphique planaire a une largeur d'arbre borné ou contient une grande grille en tant que mineur, en ayant le théorème de la grille en main, ils ont montré que la propriété Erdös et Pósa est vraie (pour mineur) si et seulement si C est un classe de graphes planaires. Le problème est toujours ouvert pour la subdivision, cependant. Mais la preuve du théorème par rapport au mineur est en quelque sorte simple et, à ma connaissance, il n'y a pas de preuve sans utiliser le théorème de la grille.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Les résultats récents pour les digraphes fournissent des réponses aux questions ouvertes de longue date dans le domaine similaire des digraphes. Par exemple, une question très fondamentale était la suivante: existe-t-il une fonction telle que pour tout graphe G et entiers k , l , nous pouvons trouver un ensemble S ⊆ V ( G ) d'au plus f ( k + l ) sommets tels que G - S n'a pas de cycle de longueur au moins l ou il y a k cycles disjoints de longueur au moins l dans $f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$. Ce n'est qu'un cas spécial, mais pour il était connu comme une conjecture de jeune. Avant cette conjecture de Younger a été prouvée par Reed et al avec une approche assez compliquée.$l=2$

Il convient de mentionner qu'il existe encore des cas assez banals dans les digraphes. Par exemple, le théorème 5.6 dans l'article ci-dessus n'est qu'une extension positive de la conjecture du plus jeune à une petite classe de digraphes faiblement connectés, mais avec les connaissances et les outils mathématiques que nous avons, ce n'est pas trivial (ou peut-être que nous ne connaissons pas un argument simple pour cela ). Peut-être qu'en fournissant une meilleure caractérisation de ces graphiques, il y aura un moyen plus facile de le prouver.

le titre de la question fait référence à des "implications triviales" mais le contenu ne spécifie pas exactement ce critère, c'est donc un message mitigé. un élément / exemple semi-célèbre qui se rapproche du thème général est la preuve de la forte (puis ~ 4 décade) Conjecture de graphe parfait forten 2002 par Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour et Robin Thomas. le problème de la complexité algorithmique de la reconnaissance de graphes parfaits s'est avéré être étroitement lié / étroitement à la mécanique de preuve de la forte conjecture de graphe parfait, bien que cela n'était pas exactement bien compris ou connu avant la preuve de la conjecture. en d'autres termes, il y avait une conjecture ouverte informelle selon laquelle «la reconnaissance parfaite des graphes est en P» (ou «faible complexité», etc.) relativement rapidement résolue en s'appuyant sur l'analyse / les propriétés / la mécanique du fort théorème des graphes parfaits.

Un algorithme polynomial pour reconnaître des graphes parfaits Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003