Algorithmes ADN et complétude NP

Quelle est la relation entre les algorithmes ADN et les classes de complexité définies à l'aide des machines de Turing? À quoi correspondent les mesures de complexité comme le temps et l'espace dans les algorithmes ADN? Peuvent-ils être utilisés pour résoudre des cas de problèmes NP-complets comme TSP que les machines von Neumann ne peuvent pas résoudre de manière pratique dans la pratique?

Réponse de l'extrait sonore: le calcul de l'ADN ne fournit pas de baguette magique pour résoudre les problèmes NP-complets, même si certains chercheurs respectés des années 1990 pensaient que c'était possible.

L'expérience inaugurale de calcul d'ADN a été réalisée dans un laboratoire dirigé par le célèbre théoricien des nombres Len Adleman. Adleman a résolu un petit problème de voyageur de commerce - un problème NP-complet bien connu, et lui et d'autres ont pensé pendant un certain temps que la méthode pourrait évoluer. Adleman décrit son approche dans cette courte vidéo , que je trouve fascinante. Le problème qu'ils ont rencontré était que pour résoudre un problème TSP de taille modeste, ils auraient besoin de plus d'ADN que la taille de la Terre. Ils avaient trouvé un moyen de gagner du temps en augmentant la quantité de travail effectué en parallèle, mais cela ne signifiait pas que le problème du TSP nécessitait moins que des ressources exponentielles pour le résoudre. Ils avaient seulement déplacé le coût exponentiel de la quantité de temps à la quantité de matériel physique.

(Il y a une question supplémentaire: si vous avez besoin d'une quantité exponentielle de machines pour résoudre un problème, avez-vous automatiquement besoin d'une quantité exponentielle de temps, ou du moins de prétraitement, pour construire les machines en premier lieu? Je laisserai ce problème à d'un côté, cependant.)

Ce problème général - réduire le temps nécessaire à un calcul au détriment d'une autre ressource - est apparu à plusieurs reprises dans les modèles informatiques d'inspiration biologique. La page Wikipedia sur le calcul membranaire (une abstraction d'une cellule biologique) dit qu'un certain type de système membranaire est capable de résoudre des problèmes NP-complets en temps polynomial. Cela fonctionne parce que ce système permet la création de sous-objets exponentiellement nombreux à l'intérieur d'une membrane globale, en temps polynomial. Eh bien ... comment une quantité exponentielle de matière première arrive-t-elle du monde extérieur et pénètre-t-elle à travers une membrane de surface constante? Réponse: ce n'est pas considéré. Ils ne paient pas pour une ressource dont le calcul aurait autrement besoin.

Enfin, pour répondre à Anthony Labarre, qui a établi un lien avec un article montrant que les AHNEP peuvent résoudre des problèmes NP-complets en temps polynomial. Il y a même un document montrant que les AHNEP peuvent résoudre 3SAT en linéairetemps. AHNEP = Accepting Hybrid Network of Evolutionary Processors. Un processeur évolutif est un modèle inspiré de l'ADN, dont le noyau a une chaîne qui, à chaque étape, peut être modifiée par substitution, suppression ou (surtout) insertion. En outre, un nombre arbitrairement élevé de chaînes est disponible à chaque nœud, et à chaque étape de communication, tous les nœuds envoient toutes leurs chaînes correctes à tous les nœuds attachés. Ainsi, sans coût en temps, il est possible de transférer des quantités exponentielles d'informations, et en raison de la règle d'insertion, les chaînes individuelles peuvent devenir toujours plus grandes au cours du calcul, c'est donc un double coup dur.

Si vous êtes intéressé par des travaux récents en biocomputation, par des chercheurs qui se concentrent sur des calculs pratiques dans le monde réel, je peux vous proposer cette critique de livre que j'ai récemment écrite pour SIGACT News, qui aborde brièvement plusieurs domaines.

Cela dépend beaucoup de votre modèle.

En réalité, le calcul de l'ADN suit des lois physiques (non relativistes) et peut donc être simulé sur un ordinateur quantique. Ainsi, le mieux que vous puissiez espérer est qu'il pourrait résoudre les problèmes complets de BQP. Cependant, il est très peu probable que cela soit vrai (l'ADN est assez gros, et donc la cohérence n'est pas vraiment un problème), et donc par simulation, c'est presque certainement P. Il est important de noter, cependant, que c'est de l'efficacité en termes du nombre d'atomes utilisés, et franchement, les atomes sont suffisamment bon marché pour que ce nombre soit astronomique, ce qui rend la simulation pratique d'un tube à essai plein d'ADN bien en dehors du domaine de ce qui est actuellement possible.

En conséquence, de nombreuses personnes choisissent de travailler avec des modèles qui se rapprochent assez bien de la pratique, mais qui cassent lorsqu'ils sont poussés à l'extrême. Un exemple de ceci est le modèle de carrelage abstrait, qui se révèle être NEXP-complet (voir l'article de Gottesman et Irani de FOCS l'année dernière).

Ceci est une réponse partielle

D'après un article de Wikipédia que vous avez mentionné, les algorithmes de calcul d'ADN moléculaire qui résolvent les problèmes NP-complets ne prouvent pas que les problèmes NP-complets peuvent être résolus en temps polynomial sur des machines séquentielles (en supposant que cela signifie en pratique le temps polynomial). Le calcul de l'ADN peut être considéré comme un calcul parallèle. Enfin, du point de vue de la théorie de la calculabilité, l'informatique ADN n'est pas plus puissante que les machines de Turing.

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