Complexité des problèmes liés à la permutation


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Étant donné un groupe de permutations sur [ n ] = { 1 , , n } , et deux vecteurs u , v Γ nΓ est un alphabet fini qui n'est pas tout à fait pertinent ici, la question est de savoir s'il existe des π G tel que π ( u ) = vπ ( u ) signifie appliquer la permutation π sur u de manière attendue.G[n]={1,,n}u,vΓnΓπGπ(u)=vπ(u)πu

Supposons en outre que soit donné, en entrée, par un ensemble fini S de générateurs. Quelle est la complexité du problème? En particulier, est-ce en NP?GS


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Qu'entendez-vous par un ensemble fini de générateurs? Comment est-il représenté dans l'entrée?
RB

Je pense qu'un exemple est: deux générateurs , S 2 = ( 1 3 ) ( 2 ) et G est le groupe généré par S 1 et S 2 . S1=(12)(3)S2=(13)(2)GS1S2
maomao

En général, ce problème serait NP-difficile (probablement cela est déjà étudié dans certaines références dont je ne suis pas au courant). Néanmoins, un autre problème de solution (également lié au jeu de sudoku) pourrait vous intéresser
Nikos M.

De plus c'est un problème inverse (qui peut être abordé de manière MAXENTALE à la Jaynes)
Nikos M.

La question n'est pas de savoir s'il est NP-dur, mais s'il est en NP. La limite supérieure triviale est uniquement PSPACE.
Emil Jeřábek 3.0

Réponses:


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Soit S n est le groupe de permutation sur n éléments. Vérifier si g g 1 , ... , g k peut être fait dans NC P par [1]. Soit u , v Γ n , puis devinez simplement g S n , testez en temps polynomial si g Gg1,,gk,gSnSnngg1,,gkNCPu,vΓngSngGet si . Cela donne une limite supérieure NP .g(u)=vNP

Pour compléter cette réponse:

Il a été démontré que l'appartenance à un groupe appartenait à (Furst et al. 1980), puis à NC 3 pour les groupes abéliens (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), à NC pour les groupes nilpotents (Luks & McKenzie 1988), groupes résolubles (Luks & McKenzie 1988), des groupes avec des facteurs de composition non abéliens bornés (Luks 1986), et enfin tous les groupes (Babai et al. 1987). Une classification similaire de la complexité de l'appartenance aux monoïdes apériodiques est due à (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), qui montrent que l'appartenance à toute variété monoïde apériodique fixe est soit en AC 0 , en P , en NP ou en PSPACEPNC3NCAC0PNPPSPACE (et complet pour cette classe à quelques exceptions près).

[1] L. Babai, EM Luks et A. Seress. Groupes de permutation en NC. Proc. symposium annuel de l'ACM sur la théorie de l'informatique, pp. 409-420, 1987.19th


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Ma réponse était incorrecte et je l'ai supprimée (le sous-groupe que j'ai noté N dans ma réponse n'était pas normal en général). Je pense que le problème est en P (et probablement aussi en NC), mais je n'ai pas de preuve pour le moment.
Tsuyoshi Ito

Je ne vois pas pourquoi votre réponse est incorrecte. La permutation peut en effet être construite facilement, puis l'appartenance à un groupe où les groupes sont donnés comme une liste de générateurs est en NC par Babai, Luks & Seress 87.π
Michael Blondin

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Un choix pour π peut être construit facilement, mais que faire si ce π n'appartient pas à G? Il existe probablement un moyen de trouver le bon π depuis le début, mais pour l'instant je ne vois pas comment faire cela.
Tsuyoshi Ito

Oh, tu as raison. Je vais modifier ma réponse à la limite supérieure NP.
Michael Blondin

Merci pour la modification et désolé d'avoir causé de la confusion par ma réponse incorrecte.
Tsuyoshi Ito

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Votre problème est connu sous le nom ( -) chaîne G -isomorphisme. Il est dans une classe assez étroite de problèmes autour Graphique Isomorphisme: il est au moins aussi dur que GI, et est en N P de la c o A M .ΓGNPcoAM

Réduction de GI: soit , et soitGSNl'action induite deSnsur les paires.N=(n2)GSNSn

protocole M : Arthur choisit au hasard un élément de G (je ne suis pas sûr que cela puisse être fait de manière uniforme, mais je pense que les algorithmes connus se rapprochent suffisamment de l'uniformité pour ce résultat) et l'appliquent à la fois à u et à v . Avec une probabilité 1/2, il échange u et v , puis les présente à Merlin et demande lequel était lequel.coAMGuvuv


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En combinant mon commentaire à la réponse de Michael Blondin avec votre réponse, j'ai maintenant peur de m'être accidentellement engagé à penser que GI est en P (et probablement aussi en NC).
Tsuyoshi Ito

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Malgré mes commentaires, j'ajouterai également une réponse.

Dans le cas où les deux vectros donnés sont connus pour être une permutation l'un de l'autre (et la permutation est connue / supposée être dans le groupe donné ). Alors la permutation qui transforme v u peut être trouvée en temps linéaire comme telle:Gvu

  1. Alignez les 2 vecteurs l'un sous l'autre

  2. La permutation est trouvée en partant du 1er élément de qui se transforme en 1er élément de uvu

  3. Obtenez la position de l'élément dans l'étape précédente (de en v ) et répétez l'étape (2), puis c'est le 2e élément de la permutation et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les éléments soient traversés.uv

Si vous ne savez pas si les deux vecteurs sont positivement la permutation l'un de l'autre (ou pour des cas plus généraux où il peut y avoir plusieurs transformations, comme par exemple un jeu de sudoku), vérifiez le Another Solution Problem qui est en général NP-difficile. Cela nécessite d'utiliser certaines transformations de symétrie (par exemple permutations) qui satisfont aux contraintes d'un problème donné pour générer une autre solution du problème étant donné une solution initiale.

De plus, cela fait partie des problèmes connus sous le nom de problèmes inverses (à la Jaynes)


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Il n'y a aucune raison pour que la permutation trouvée de cette façon soit dans le groupe donné . G
Emil Jeřábek 3.0

@ EmilJeřábek, hmm, cette partie a été manquée, mais cette partie de la réponse suppose qu'il en est ainsi (pour les illustrations de l'algorithme linéaire), éditera la réponse
Nikos M.

uv

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uvππG

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Vous n'avez fourni aucune preuve pour affirmer que le problème est NP-difficile, ou qu'il a quelque chose à voir avec ASP. Selon la réponse de Joshua Grochow, le problème n'est pas NP-difficile à moins que la hiérarchie polynomiale ne s'effondre au deuxième niveau (AM = coAM, pour être précis).
Emil Jeřábek 3.0
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