Le problème que vous décrivez a certainement été pris en compte (je me souviens en avoir discuté à l'école, et à l'époque il avait déjà été discuté bien avant), bien que je ne puisse citer aucune référence particulière dans la littérature. Peut-être parce qu'il est linéairement équivalent à l'isomorphisme du graphique non coloré, comme suit (cela est vrai même pour les formes canoniques). Appelez le problème que vous décrivez EQ-GI.
GI est juste le cas particulier de EQ-GI où chaque graphique a une seule classe d'équivalence composée de tous les sommets.
Dans l'autre sens, pour réduire EQ-GI à GI, soit un graphe avec une relation d'équivalence avec n sommets, m arêtes et c classes d'équivalence. Construire un graphe G ′ dont l'ensemble des sommets se compose des sommets de G , ainsi que de nouveaux sommets v 1 , … , v c , un pour chaque classe d'équivalence dans = G , ainsi que n + c + 1 nouveaux sommets w 0 , … ,(G,∼G)nmcG′Gv1,…,vc=Gn+c+1 . Reliez les w i dans un chemin w 0 - w 1 - w 2 - ⋯ - w n + c , connectez chaque v i à w 0 , et pour chaque sommet de G , connectez-le au sommet de classe d'équivalence correspondant v i . Alors G ′ a au plus n + 2 c + n + 1 ≤ O ( n )w0,…,wn+cwiw0−w1−w2−⋯−wn+cviw0GviG′n+2c+n+1≤O(n)sommets et peuvent être construits essentiellement dans le même temps. (Il a également au plus arêtes - qui est O ( m ) pour les graphiques connectés - mais c'est un peu moins pertinent car la plupart des algorithmes GI ont des temps d'exécution qui ne dépendent essentiellement que de n .)m+n+c+(n+c+1)≤m+4n+1≤O(m+n)O(m)n
Mise à jour : Puisqu'il y avait une certaine confusion dans les commentaires, j'ajoute ici un croquis de l'exactitude de l'argument ci-dessus. Étant donné et ( G 2 , ∼ 2 ) , soit G ' 1 et G ' 2 les graphiques construits comme ci-dessus; soit v i , 1 désigne le sommet v i d'en haut dans G ′ 1 , et v i , 2 celui de G ′(G1,∼1)( G2, ∼2)g′1g′2vi , 1vjeg′1vi , 2 , et de même pourwi,1etwi,2. S'il y a un isomorphismeG ' 1 ≅G ' 2 , il doit envoyerwi,1àwi,2pour touti, car dans chaque graphiquewn+cest le sommet unique qui est le point final de tout chemin de longueur au moinsn+c+1. En particulier,w0,1g′2wi , 1wi , 2g′1≅g′2wi , 1wi , 2jewn + cn + c + 1w0,1correspond à . Comme les voisins de w 0 qui ne sont pas w 1 sont exactement les v i , l'isomorphisme doit mapper l'ensemble { v 1 , 1 , … , v c , 1 } à l'ensemble { v 1 , 2 , … , v c , 2 } (et en particulier les deux ~ 1 et ~ 2 doivent avoir le même nombre, cw0,2w0w1vi{v1,1,…,vc,1}{v1,2,…,vc,2}∼1∼2c, des classes d'équivalence). Notez que l'isomorphisme n'a pas besoin d'envoyer à v i , 2 pour tous les i , mais est autorisé à permuter les indices des v tant que les classes d'équivalence correspondantes peuvent être mappées les unes aux autres. Inversement, sur la base de cette description de l' apparence des isomorphismes entre G ′ 1 et G ′ 2 , il est facile de voir que si ( G 1 , ∼ 1 ) ≅ ( G 2 , ∼ 2 )vi,1vi,2ivG′1G′2(G1,∼1)≅(G2,∼2)cela donne alors un isomorphisme .G′1≅G′2