Classification des portes réversibles

Le réseau de Post , décrit par Emil Post en 1941, est essentiellement un diagramme d'inclusion complet d'ensembles de fonctions booléennes qui sont fermées sous composition: par exemple, les fonctions monotones, les fonctions linéaires sur GF (2) et toutes les fonctions. (Post n'a pas supposé que les constantes 0 et 1 étaient disponibles gratuitement, ce qui a rendu son réseau beaucoup plus compliqué qu'il ne le serait autrement.)

Ma question est de savoir si quelque chose d'analogue a jamais été publié pour les portes réversibles classiques , comme les portes Toffoli et Fredkin. C'est-à-dire, quelles classes de transformations réversibles sur {0,1} ⁿ peuvent être générées par une collection de portes réversibles? Voici les règles: vous êtes autorisé à utiliser un nombre illimité de bits ancilla, certains prédéfinis à 0 et d'autres prédéfinis à 1, tant que tous les bits ancilla reviennent à leurs paramètres initiaux une fois que votre transformation de {0,1} ⁿ est fini. De plus, un SWAP de 2 bits (c'est-à-dire un réétiquetage de leurs indices) est toujours disponible gratuitement. Selon ces règles, mon étudiant Luke Schaeffer et moi avons pu identifier les dix ensembles de transformations suivants:

L'ensemble vide
L'ensemble généré par la porte NOT
L'ensemble généré par NOTNOT (c'est-à-dire les portes NOT appliquées à 2 des bits)
L'ensemble généré par CNOT (c'est-à-dire la porte NON-Contrôlé)
L'ensemble généré par CNOTNOT (c.-à-d. Inverser les 2e et 3e bits si le 1er bit est 1)
L'ensemble généré par CNOTNOT et NOT
L'ensemble généré par la porte Fredkin (c'est-à-dire Controlled-SWAP)
L'ensemble généré par Fredkin et CNOTNOT
L'ensemble généré par Fredkin, CNOTNOT et NOT
L'ensemble de toutes les transformations

Nous aimerions identifier les familles restantes, puis prouver que la classification est complète --- mais avant de passer beaucoup de temps dessus, nous aimerions savoir si quelqu'un l'a déjà fait.

circuit-families

— Scott Aaronson
source

Il vous manque NOTCSWAP et (CSWAP, NOTCSWAP) où NOTCSWAP est comme un échange contrôlé mais échange ses arguments x, y lorsque son argument c est 0 (au lieu de permuter lorsque c est 1 comme dans un CSWAP)? Vous avez besoin des deux pour obtenir toutes les permutations préservant le poids de Hamming: CSWAP permute uniquement les vecteurs de poids de Hamming ≥2 tandis que NOTCSWAP permute uniquement les vecteurs de poids de Hamming ≤n-2.

— David Eppstein du

De plus (en manque de place dans le commentaire précédent) en exigeant un plus grand nombre de bits de contrôle à zéro ou non nul, vous pouvez obtenir des sous-ensembles encore plus limités des permutations préservant le poids de Hamming, ne permutant que les vecteurs avec un poids de Hamming au moins ou tout au plus arbitraire lié. Cela donne donc de nombreuses classes de transformations.

— David Eppstein

Merci, David - mais j'ai supposé que 0 et 1 ancillas étaient disponibles gratuitement, précisément afin d'exclure de telles "perversités". Ne le fait-il pas?

— Scott Aaronson

Soit

C_{n}

$C_n$ la classe de toutes les permutations préservant le poids de Hamming modulo

n

$n$ . Alors

C_{n}

$C_n$ satisfait vos besoins, et

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$ ssi

m | n

$m|n$ : les noninclusions de

C_{n}

$C_n$ ailleurs sont observées par la fonction

n

$n$ -aire

f_{n}

$f_n$ st

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$ ,

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$ , et

f (x) = x

$f(x)=x$ pour

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$ . En particulier, toutes ces classes infiniment nombreuses sont distinctes.

— Emil Jeřábek soutient Monica le

Voir l'article eccc.hpi-web.de/report/2015/066 dans lequel ces idées ont été peaufinées et qui fait également référence à la réponse d'Emil ci-dessous.

— András Salamon

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ Il s'agit d'une présentation de la moitié d'une dualité pour les transformations réversibles, analogue à la dualité clone – coclone standard (comme ici ). Cela ne répond pas à la question, mais cela montre que toutes les classes fermées de ces fonctions sont déterminées par la préservation des propriétés d'une forme particulière.

Contrairement au cas standard, la principale complication est que les permutations peuvent compter (elles préservent la cardinalité), d'où leurs invariants doivent impliquer un peu d'arithmétique pour expliquer cela.

Permettez-moi de commencer par une terminologie provisoire. Fixer un ensemble de base finie . (Dans le cas classique, Scott demande, . Certaines parties de la discussion fonctionnent également pour infini , mais pas pour la caractérisation principale.) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

Un ensemble de permutations (ou: transformations réversibles) est un sous - ensemble , où désigne le groupe de permutations de . Un clone de permutation est un ensemble de permutations telles que $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

Chaque est fermé sous composition. $\cC\cap\sym(A^n)$

Pour tout , la permutation définie par est en . $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

Si et , la permutation définie par est en . $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

Puisque est fini, 1 signifie que est un sous-groupe de . L'OP ne demande que 2 pour les transpositions , mais la version ici est clairement équivalente. La condition 3 est équivalente à ce que j'ai appelé l'introduction de variables fictives dans les commentaires ci-dessus. $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

Un clone maître est un clone de permutation avec allocation d'ancillas:

Soit , et tels que pour tout . Alors implique . $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

Nous visons à caractériser les clones de permutation et les clones maîtres par certains invariants. Permettez-moi d'abord de motiver ce dernier par quelques exemples sur : $A=\{0,1\}$

Le clone maître des permutations préservant le poids de Hamming (généré par la porte Fredkin). Si désigne l'inclusion de dans , ces permutations sont caractérisées par la propriété $w$ $\{0,1\}$ $\N$ où, et j'écris.
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
Le maître clone des permutations préservant le poids de Hamming modulo fixe , mentionné dans les commentaires. Ceci est caractérisé par la même formule que ci-dessus, si nous interprétons comme une fonction de au groupe cyclique , et y calculons la somme. $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
Le clone maître des permutations affines , , (généré par CNOT). On vérifie facilement (ou sait d'après le cas de Post) qu'une fonction à sortie unique est affine si elle conserve la relation $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ . Ainsi, si nous définissons par un est dans le clone ssi $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ nous avons donc affaire à des sommes dans le monoïde. $y^{1} = F (X^{1}) \land \dots \land y^{4} = F (X^{4}) ⟹ {max}_{je = 1}^{n} w (X_{je}^{1}, \dots, X_{je}^{4}) = {max}_{je = 1}^{n} w (y_{je}^{1}, \dots, y_{je}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$

En général, une fonction de poids est une application , où , et est un monoïde commutatif. Une fonction de pondération principale est celle qui mappe tous les diagonales - uplets , , à des éléments inversibles de . Soit la classe de toutes les fonctions de poids et les fonctions de poids principales. $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

Si , et est une fonction de poids, nous disons que est un invariant de , ou (en empruntant inconsidérément la terminologie) que est un polymorphisme de , et écrivons , si la condition suivante est vraie pour tout $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ : $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

Si , alors $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

Ici, , , et de même pour . En d'autres termes, si (ou plutôt son extension parallèle à ) conserve la somme des poids de ses arguments. $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

La relation entre et (ou ) induit une connexion galoisienne entre les ensembles de permutations , et les classes de fonctions de poids , de la manière habituelle: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$ et donc un double isomorphisme entre les réseaux complets d'ensembles fermés de permutations et les classes fermées de fonctions de poids (principales), respectivement. Pour voir que nous sommes sur la bonne voie, nous observons que des ensembles fermés de permutations sont en effet des clones:

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

Lemme: Si , alors est un clone de permutation. Si , alors est un clone maître. $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

Preuve: La première affirmation est plus ou moins évidente. Pour la seconde, soit , comme dans la condition 4 pour que , et soit soit comme dans la définition de . Mettez , $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ , et . Alors implique $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$ Cependant, sont inversibles dans car est une fonction de poids maître, donc

\sum_{je = 1}^{n} w (X_{je}) + \sum_{je = 1}^{m} u_{je} = \sum_{je = 1}^{n + m} w ({\bar{X}}_{je}) = \sum_{je = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{je}) = \sum_{je = 1}^{n} w (y_{je}) + \sum_{je = 1}^{m} u_{je} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{je = 1}^{n} w (X_{je}) = \sum_{je = 1}^{n} w (y_{je}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

Avant d'aller plus loin, nous devons résoudre un problème: les monoïdes peuvent être énormes , donc les invariants de cette forme peuvent à juste titre être suspectés d'être des non-sens abstraits inutiles.

Tout d'abord, étant donné une fonction de poids , nous pouvons supposer que est généré par (et par des inverses additifs d'images d'éléments diagonaux dans le cas principal), car les autres éléments de n'entrent pas l'image. En particulier, est généré de manière finie . Deuxièmement, par les résultats généraux de l'algèbre universelle, nous pouvons écrire comme un produit sous- où chaque $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{je \in je} M_{je},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$ est indirectement irréductible, et

est un quotient de

via la

ème projection de produit

; en particulier, il s'agit toujours d'un monoïde commutatif de génération finie. Par suite de Mal'cev, fg les monoïdes commutatifs (ou semi-groupes) subdirectement irréductibles sont en fait finis . La cartographie

est à nouveau une fonction de poids, maître si

était, et il est facile de voir que

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Ainsi, on peut sans perte de généralité restreindre l'attention aux fonctions de poids

, où

est fini et subdirectement irréductible. Soit

la classe de ces fonctions de poids, et mettons

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

Les groupes cycliques

et les monoïdes d'addition tronqués

sont des exemples de monoides commutatifs finement subdirectement irréductibles. Le cas général est plus compliqué, néanmoins on peut en dire long sur leur structure: on peut écrire chacun d'une certaine manière comme une union disjointe d'un

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

, et un nilsemigroup fini avec quelques propriétés. VoirGrilletpour plus de détails.

C (p^{d})

$C(p^d)$

Maintenant, nous sommes prêts pour le point principal de ce post:

Théorème: Les ensembles fermés de permutations dans la connexion de Galois à des fonctions de poids finies subdirectement irréductibles (maîtres) sont exactement les clones de permutation (maîtres clones, resp.).

Autrement dit, si , alors le clone de permutation généré par est , et le clone maître généré par est . $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

Preuve: Au vu de la discussion précédente, il suffit de montrer que si est un clone de permutation, et , il y a un invariant de tel que , et on peut considérer comme une fonction de poids maître si est un clone maître. $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

Mettez , et soit le monoïde libre généré par (c'est-à-dire les mots finis sur l'alphabet ). On définit une relation sur par $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$ (Les mots de longueur inégale ne sont jamais liés par.) Puisque chaqueest un groupe,est une relation d'équivalence (en fait, sa restriction aux mots de longueurn'est que la relation d'équivalence orbitale de

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$ agissant de façon évidente sur

). De plus,

est une congruence monoïde: si

témoignent que

A^{m k}

$A^{mk}$

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

, respectivement, puis

témoins

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

Ainsi, nous pouvons former le quotient monoïde . La permutation de swap témoigne que pour chaque ; c'est-à-dire que les générateurs de commutent, donc est commutatif. Définissez une fonction de poids comme l'inclusion naturelle de dans composée avec la carte des quotients. $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

Il est facile de voir que : en effet, si , et , alors $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$ par la définition de (en utilisant la notation comme dans la définition de ). Par contre, supposons . Soit une énumération de , , et soit

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

pour

soit à nouveau comme dans la définition de

. Alors

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

$\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$ par

X_{1} \dots X_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in UNE X_{1} \dots X_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$ En utilisant le fait que des éléments de

A^{k}

$A^k$ commute modulo

\sim

$\sim$ , il est facile de montrer que

\approx

$\approx$ est à nouveau une congruence, donc nous pouvons former le monoïde

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ et une fonction de poids

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$ . Puisque

\approx

$\approx$ étend

\sim

$\sim$ ,

M^{'}

$M'$ est commutatif, et un quotient de

M

$M$ ; en particulier,

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$ . D'un autre côté, si

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$ , puis le même argument que ci-dessus avec la définition de

\approx

$\approx$ donnerait un

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$ , et

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$ tel que

g (X, c_{1}, \dots, c_{r}) = (F (X), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$ pour tous

x \in A^{n}

$x\in A^n$ , Ainsi

f \in C

$f\in\cC$ comme

C

$\cC$ est un clone maître, une contradiction.

La définition de $\approx$ s'assure que

X c^{*} \approx y c^{*} ⟹ X \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$ pour tous

x, y \in F

$x,y\in F$ , et

c \in A

$c\in A$ . Il s'ensuit que les éléments

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$ sont annulateurs dans

M^{'}

$M'$ . C'est un fait bien connu que tout monoïde commutatif peut être intégré dans un autre où tous les éléments annulateurs deviennent inversibles. La composition d'un tel encastrement avec

w^{'}

$w'$ est alors une fonction maître de poids

w^{″}

$w''$ , et

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$ , Par conséquent

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$ . QED

EDIT: Une généralisation de la dualité clone-coclone ci-dessus est maintenant écrite dans

[1] E. Jeřábek, Galois connection for multiple-output operations , preprint, 2016, arXiv: 1612.04353 [math.LO] .

— Emil Jeřábek soutient Monica
source

Merci beaucoup pour l'effort qu'il a fallu pour écrire ceci! Il me faudra du temps pour le digérer, car le langage des clones et de l'algèbre universelle est assez abstrait pour moi (en effet, c'était une pierre d'achoppement lorsque j'ai essayé de lire cette littérature dans le passé). Mais alors que nous travaillons concrètement sur les clones, il est utile de savoir qu'ils seront tous caractérisés par des invariants, comme tous les exemples que nous connaissions. (Soit dit en passant, pour voir, disons, Fredkin + NOT comme caractérisé par un invariant, je suppose que nous examinons des paires d'entrées et disons que chaque transformation préserve la somme de leurs parités?)

— Scott Aaronson

En attendant, j'ai des progrès à faire sur la question concrète. J'ai pu classer tous les points du réseau au-dessus de la porte de Fredkin: les seules possibilités sont les transformations qui préservent le poids de Hamming mod k pour tout k, les transformations qui préservent ou inversent le poids de Hamming mod 2 (généré par Fredkin + NON), et toutes les transformations. Je peux également caractériser tous les points du réseau au-dessus de CNOTNOT: ce ne sont que ceux que j'ai répertoriés dans l'OP (CNOTNOT + NOT, CNOT, Fredkin + NOTNOT, Fredkin + NOT, tout).

— Scott Aaronson

Oui, pour Fredkin + NON, nous pouvons prendre

M = C (2)

$M=C(2)$ ,

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$ . Merci pour la mise à jour, cela semble très bien.

— Emil Jeřábek soutient Monica le

On espère bien sûr que les invariants sont en pratique beaucoup plus petits que ce qui ressort de la preuve. (Dans l'affaire Post, je pense que le pire qui puisse arriver est

k \leq n + 1

$k\le n+1$ .) La connexion de Galois n'aide pas directement à la classification concrète, c'est plus un outil méthodologique. Premièrement, il peut être plus facile de trouver des classes précédemment non identifiées si l'on sait quel type de propriétés rechercher. Deuxièmement, une étape typique de la preuve du classement de Post se présente comme suit. Nous sommes arrivés à une classe

C

$C$ quelque part au milieu du réseau, et nous voulons décrire les classes au-dessus. ...

— Emil Jeřábek soutient Monica le

...

C

$C$ est déterminé par ses relations invariantes

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$ . Ensuite, toute extension appropriée de

C

$C$ doit contenir un

f

$f$ cela ne préserve pas certains

R_{i}

$R_i$ , et généralement on peut ensuite manipuler

f

$f$ par composition, etc. dans une fonction particulière dans un petit nombre de variables. De cette façon, on obtient une liste

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$ de telle sorte que chaque classe strictement supérieure

C

$C$ contient la classe générée par

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$ pour certains

i

$i$ , et on peut procéder à la partie du réseau au-dessus de cela. Cela n'a pas besoin de la correspondance générale, mais de connaître les invariants des classes particulières que l'on rencontre.

— Emil Jeřábek soutient Monica le