Problèmes complets naturels à des niveaux plus élevés de la -hierarchy

La hiérarchie est une hiérarchie de classes de complexité en complexité paramétrée, voir le Complexity Zoo pour les définitions. Une définition alternative définit utilisant la définissabilité pondérée de Fagin pour les logique du premier ordre, voir le manuel de Flum et Grohe .$\mathsf{W}$$\mathsf{W}[t]$$\mathsf{W}[t]$$\Pi_t$

Pour les classes les plus basses et , de nombreux problèmes naturels complets sont connus, par exemple Clique et Ensemble indépendant sont complets pour , et Ensemble dominant et Hitting Set est terminé pour , où chacun de ces problèmes est défini comme le problème bien connu avec la taille de l'ensemble de solutions requis comme paramètre. $\mathsf{W}[1]$$\mathsf{W}[2]$$\mathsf{W}[1]$$\mathsf{W}[2]$$\mathsf{NP}$

Existe-t-il des problèmes naturels connus pour les classes supérieures de la , en particulier pour et ?$\mathsf{W}$$\mathsf{W}[3]$$\mathsf{W}[4]$

Du commentaire ci-dessus:

-HYPERGRAPH- (NON) -DOMINATING-SET$p$est W [3] -complet sous fpt-réductions:

Un hypergraphe est constitué d'un ensemble V de sommets et d'un ensemble E d'hyper-arêtes. Chaque hyperarête est aussi sous - ensemble de V . Dans un hypergraphe 3, toutes les arêtes ont une taille 3. Si H = ( V , E ) est un hypergraphe 3, chaque a ∈ V induit un graphique H a = ( V a , E a ) donné par:$H = (V,E)$$V$$E$$V$$H = (V,E)$$a \in V$$H^a = (V^a, E^a)$

et E a = { { u , v } ∣ { a , u , v } ∈ E $V^a = \{ v \in V \mid v \neq a \text{ and there is } e \in E \text{ with } a, v \in e \}$$E^a = \{ \{u,v\} \mid \{a,u,v\} \in E \}$

Entrée : Un hypergraphe 3 , un ensemble M ⊆ V et k ≥ 1 . Paramètre : k . Problème : décider s'il existe un ensemble D ⊆ V de cardinalité k tel que:$H = (V,E)$$M \subseteq V$$k \geq 1$
$k$
$D \subseteq V$$k$

• si , alors D est un ensemble dominant de H a ,$a \in M$$D$$H^a$
• si , alors D n'est pas un ensemble dominant de H a .$a \notin M$$D$$H^a$

voir Yijia Chen, Jörg Flum et Martin Grohe. Une analyse de la hiérarchie W *. Le Journal de la logique symbolique, vol. 72, n ° 2 (juin 2007), p. 513-534

Je crois que le titre de cet article est explicite et répond à votre question: Sur le produit couvrant dans les modèles de chaîne d'approvisionnement à 3 niveaux: problèmes complets naturels pour W [3] et W [4]