Preuves interactives pour les niveaux de la hiérarchie polynomiale

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Nous savons que si vous avez une machine PSPACE, elle est suffisamment puissante pour donner une preuve interactive de la hiérarchie polynomiale à n’importe quel niveau. (Et si je me souviens bien, tout ce que vous avez besoin est #P.) Mais si vous voulez donner une preuve interactive de l' appartenance à un langue. Est - ce suffisant pour être en mesure de résoudre les problèmes dans ? La résolution de problèmes en adéquate? De manière plus générale, si vous pouvez résoudre ou problèmes, pour ce que est - ce suffisant pour générer des preuves interactives de tous languates dans ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

Cette question a été inspirée par cette question de pile de mémoire .

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Peter Shor
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Êtes-vous intéressé uniquement par le cas du prouveur unique ou par le cas des prouveurs multiples? Il me semble que le moyen le plus évident d’attaquer ce problème serait d’utiliser des PCP, qui pourraient être simples pour deux prouveurs, mais qui ne fonctionneraient probablement pas pour un seul.

— Joe Fitzsimons

1

Je serais intéressé dans les deux cas. Je me suis posé des questions sur cette question pour les provers simples pendant un bon bout de temps, mais je n’avais pas du tout pensé à plusieurs provers.

— Peter Shor

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@Peter: Recherche sur le papier IP = PSPACE, il semble que la preuve passerait par l' utilisation

(qui est complète pour

) plutôt que QBF, à condition que vous avez un prouveur suffisamment puissant pour calculer les identités polynôme résultant de l'arithmitisation de la

. Est-ce que je manque quelque chose?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons

1

@ Joe, je n'ai pas envisagé cette idée; Cela peut fonctionner.

— Peter Shor

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Joe, peut-être devriez-vous le poster comme réponse

— Suresh Venkat

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Même pour donner une adresse IP pour coNP, en utilisant les techniques actuelles, il faut arithmétiser, c'est-à-dire utiliser le comptage, ce qui signifie essentiellement la pleine puissance de #P. Tout prouveur plus faible, même pour coNP, serait très intéressant, je pense (cela impliquerait en particulier une nouvelle technique non relativante).

— Noam
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@ Peter: Noam a raison. Je cite les lignes suivantes d' ici ... basant collision hash résistant à la dureté du pire cas de NP par une réduction de la boîte noire implique un système de preuve interactif pour co-NP avec le démonstrateur en BPP ^ NP ... Tous connu Les systèmes de preuve (même multi-prouveurs) pour les co-NP nécessitent des prouveurs avec une complexité #P ...

— MS Dousti

Dans ce cas, ma réponse est probablement un non-sens. Merci de l'avoir signalé.

— Joe Fitzsimons

En fait, c'est vraiment intéressant, étant donné qu'une preuve interactive pour le non-isomorphisme de graphe n'a besoin que d'un prouveur doté d'un oracle pour résoudre ce problème. Cela donne à penser que la preuve que l’IG est très très faible (comme dans P) ou que les limites pour les preuves interactives des niveaux de la hiérarchie polynomiale sont probablement très lâches.

— Joe Fitzsimons

1

Je suppose que plusieurs prouveurs ne sont pas connus pour aider. Est-ce correct?

— Peter Shor

1

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

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C’est un problème ouvert connu (merveilleux) sur lequel j’ai travaillé de temps en temps sans succès.

Avi Wigderson et moi-même avons évoqué le problème dans notre article sur l’algébrization , dans lequel nous avions posé la question de savoir si des confinements tels que coNP IP _NP pouvaient être prouvés au moyen de techniques d’algèbre. (IP _NP désigne IP avec un vérificateur BPP et un démonstrateur BPP ^NP .) Si (comme je le suppose), la réponse est non, cela fournirait une raison formelle pour laquelle tout protocole interactif comme celui demandé par Peter exigerait une non-relativisation. techniques qui vont "fondamentalement au-delà" de celles utilisées pour IP = PSPACE.

Une question analogue est de savoir si oui ou non BQP = IP _BQP , où IP _BQP signifie IP avec un vérificateur BPP et un prouveur BQP (quantum polynomial-time). Cette question est également ouverte - bien qu'une récente percée de Broadbent, Fitzsimons et Kashefi ait montré qu'une déclaration étroitement liée est vraie.

— Scott Aaronson
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Oui, la question de savoir si coNP a une preuve interactive où le prouveur est plus faible que #P (disons, polytime avec accès à NP oracle) est une question ouverte bien connue. L’article récent d’ Haïtner, Mahmoody et Xiao, qui suit, aborde cette question et montre certaines conséquences de l’hypothèse selon laquelle cela ne peut être fait.

— Boaz Barak
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Puisque Suresh a suggéré que je poste mon commentaire comme réponse, je le ferai. Cependant, j'estime que cela ne constitue pas une réponse complète, car je n'ai pas tenté de le prouver, et cela pourrait s'avérer être une impasse.

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— Joe Fitzsimons
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le problème se pose déjà dans la preuve pour coNP. Le protocole sumcheck a n tours (un pour chaque variable). À chaque tour, le prouveur doit trouver les coefficients du polynôme obtenus par une somme exponentiellement élevée. Je ne sais pas comment le faire en utilisant moins d'énergie que #P.

— Boaz Barak

@ Boaz: Oui, je pense que cette approche est vouée à l'échec. Je pensais avoir vu une version de l'arithmétisation faite quelque part de telle sorte que le polynôme ne prenne que les valeurs 1 ou 0 pour les entrées de 0 et de 1. Si tel est le cas, il semble que vous pourriez utiliser un oracle pour résoudre un problème de décision correspondant. Encore une fois, je peux juste l'avoir imaginé!

— Joe Fitzsimons