Limites inférieures serrées sur le théorème de Savitch

Tout d'abord, je m'excuse d'avance pour toute stupidité. Je ne suis en aucun cas un expert en théorie de la complexité (loin de là! Je suis un étudiant de premier cycle qui suit mon premier cours de théorie de la complexité) Voici ma question. Le théorème de Savitch indique maintenant que Maintenant, je suis curieux de savoir si cette limite inférieure était serrée, c'est-à-dire que c'est quelque chose comme n'est pas réalisable. NSPACE ( f ( n ) ) ⊆ DSPACE ( ( f ( n ) ) 1.9

Il semble qu'il devrait y avoir un argument combinatoire simple à faire ici - chaque nœud du graphique de configuration d'une machine de Turing déterministe n'a qu'un seul bord sortant, tandis que chaque nœud du graphique de configuration d'une machine de Turing non déterministe peut en avoir plus d'un bord sortant. L'algorithme de Savitch est en train de convertir des graphiques de configuration avec n'importe quel nombre de fronts sortants en graphiques de configuration avec fronts sortants.$<2$

Étant donné que le graphique de configuration définit une MT unique (pas sûr à ce sujet), la taille combinatoire de cette dernière est presque certainement plus grande que la première. Cette «différence» est peut-être un facteur de , peut-être moins - je ne sais pas. Bien sûr, il y a beaucoup de petits problèmes techniques à résoudre, comme la façon dont vous devez vous assurer qu'il n'y a pas de boucles, etc., mais ma question est de savoir si c'est une façon raisonnable de commencer à prouver une chose comme ça. $n^2$

Il s'agit d'une question ouverte bien connue. Vous verrez dans la théorie de la complexité de nombreuses questions ouvertes pour lesquelles vous vous demanderiez pourquoi personne n'a réussi à les résoudre. Une partie de la raison est que nous avons besoin de nouvelles personnes comme vous pour nous aider à les résoudre :)

Pour le dernier résultat dans ce domaine, montrant que l'algorithme de Savitch est optimal dans certains modèles restreints, voir l'article FOCS d'Aaron Potechin .

Plus précisément, il part de la belle observation que, parce que le graphe de configuration d'un TM déterministe n'a qu'un seul bord sortant (après avoir fixé l'entrée), on peut le considérer comme un graphe non orienté, et donc la question devient quelque chose comme ceci: étant donné un graphe orienté de sommets avec deux sommets particuliers , si on le localiser à un sommet non orienté graphe (également avec des sommets particuliers ) de telle sorte que l'existence de chaque bord en dépend de un bord en et il y a un chemin de à dans si il y a un chemin entren s , t N G ′ s ′ , t ′ G ′ G s t G s ′ t ′ G ′ N $G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$$G'$$G$$s$$t$$G$$s'$ et dans , combien plus grand doit être de .$t'$$G'$$N$$n$

Pour montrer que l'algorithme de Savitch est optimal, il faut montrer que doit être au moins . Pour montrer , il suffit de montrer la borne la plus faible que pour chaque constante . Je suis sûr que même n'est pas connu, bien que peut-être quelque chose comme soit connu pour des raisons pas si intéressantes.2 Ω ( log 2 n ) = n Ω ( log n ) L ≠ N L N > n c c N > n 10 N ≥ n $N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$$L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

Je pense que nous ne savons pas si c'est serré. Sinon, nous saurions que .$L \neq NL$