Il est difficile de trouver une approximation à facteur constant du cycle le plus long dans les graphiques hamiltoniens cubiques. Les graphiques hamiltoniens cubiques ont au moins deux cycles hamiltoniens.
Quelles sont les limites supérieure et inférieure les plus connues sur le nombre de cycles hamiltoniens dans les graphiques hamiltoniens cubiques? Étant donné un graphique hamiltonien cubique, quelle est la complexité de trouver le nombre de cycles hamiltoniens? Est-ce # dur?
Réponses:
Le comptage des circuits hamiltoniens dans un graphe hamiltonien à 3 réguliers est # P-complet, comme suit.
Croquis de preuve . L'appartenance à #P est triviale, nous ne montrerons donc que la dureté # P.
La section 3 de Liśkiewicz, Ogihara et Toda [LOT03] montre que le comptage des circuits hamiltoniens dans un graphe 3-régulier (et en fait planaire en même temps) est # P-complet. De plus, leur réduction de # 3SAT mappe la formule 3CNF satisfaisante aux graphiques hamiltoniens. Par conséquent, vous pouvez réduire # 3SAT au comptage des circuits hamiltoniens dans un graphique hamiltonien à 3 réguliers en ajoutant d' abord une solution triviale à une formule 3CNF donnée, puis en la réduisant au comptage des circuits hamiltoniens en utilisant la réduction de [LOT03]. QED .
[LOT03] Maciej Liśkiewicz, Mitsunori Ogihara et Seinosuke Toda. La complexité du comptage des promenades auto-évitantes dans les sous-graphiques de grilles bidimensionnelles et d'hypercubes. Informatique théorique , 304 (1–3): 129–156, juillet 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X
Certains graphiques ont exactement trois circuits hamiltoniens:
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract
Si l'on commence par le graphe plan du tétraèdre, qui contient exactement trois circuits hamiltoniens, et crée un nouveau graphe planaire connecté en tronquant un seul sommet, on obtient un nouveau graphe qui a exactement trois circuits hamiltoniens. Si l'on continue de tronquer un sommet à la fois, on obtient une famille de graphes avec exactement trois circuits hamiltoniens.
Commentaire additionnel:
Il y a également eu des travaux sur la question de savoir quels graphiques autres que les cycles ont exactement un circuit hamiltonion:
http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract
Un très bon papier d'enquête sur les circuits hamltioniens dans des types spéciaux de graphiques qui a une section traitant du nombre de circuits hamiltoniens et corrige certains problèmes avec le papier ci-dessus est: