Existe-t-il des limites générales efficaces de style Bonferroni?

Un problème classique dans la théorie des probabilités est d'exprimer la probabilité d'un événement en termes d'événements plus spécifiques. Dans le cas le plus simple, on peut dire . Write Let pour l'événement . $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ $AB$ $A \cap B$

Il existe alors quelques façons de lier , sans supposer l'indépendance des événements finis . Bonferroni a donné la borne supérieure (cela est parfois aussi attribué à Boole ), et Kounias l'a affiné à $P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup {UNE}_{je}] \leq \sum P [{UNE}_{je}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup {UNE}_{je}] \leq \sum_{je} P [{UNE}_{je}] - max_{j} \sum_{je \neq j} P [{UNE}_{je} {UNE}_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

La structure de dépendance des événements peut être considérée comme un hypergraphe pondéré avec des sommets , le poids d'un bord représentant la probabilité de l'événement associé à l'intersection des sommets dans le bord. $A_i$

Un argument de style inclusion-exclusion considère des sous-ensembles d'événements de plus en plus grands ensemble. Ceux-ci donnent les limites de Bonferroni . Ces bornes utilisent tous les poids pour les arêtes jusqu'à une certaine taille . $k$

Si la structure de dépendance est "assez agréable", alors le lemme local de Lovász peut être utilisé pour délimiter la probabilité des valeurs extrêmes 0 et 1. Contrairement à l'approche de Bonferroni, le LLL utilise des informations assez grossières sur la structure de dépendance.

Supposons maintenant que relativement peu de poids dans la structure de dépendance soient différents de zéro. En outre, supposons qu'il ya beaucoup d' événements qui sont indépendants par paires mais ne sont pas indépendants (et plus généralement, il est tout à fait possible qu'un ensemble de événements ne sont pas mutuellement indépendants mais est indépendant -wise pour chaque ). $k$ $r$ $r < k$

Est-il possible d'utiliser explicitement la structure de dépendance des événements pour améliorer les bornes de Bonferroni / Kounias, d'une manière qui peut être calculée efficacement?

Je m'attends à ce que la réponse soit oui et j'apprécierais des pointeurs vers des références. Je connais l'article de Hunter de 1976, mais il ne traite que des dépendances par paires. Hunter considère les arbres s'étendant sur le graphique formé en ignorant les bords de la structure de dépendance de taille 3 ou plus.

David Hunter, An Upper Bound for the Probability of a Union , Journal of Applied Probability 13 597–603. http://www.jstor.org/stable/3212481

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— András Salamon
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Je pense que vous trouverez la réponse dans le document "Approximate Inclusion-Exclusion" de Linial et Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aryeh
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Cela semble très pertinent (le lien officiel est link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); il existe également un lien de suivi.springer.com/article/10.1007/BF01271266 par Jeff Kahn, Nathan Linial et Alex Samorodnitsky.

— András Salamon