Restrictions aléatoires et lien avec l'influence totale des fonctions booléennes

Disons que nous avons une fonction booléenne et que nous appliquons une restriction aléatoire sur . De plus, disons que l'arbre de décision qui calcule se réduit à la taille en raison de la restriction aléatoire. Est-ce à dire que a une influence totale très faible? $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ $\delta$ $f$ $T$ $f$ $O(1)$ $f$

— Amit Levi
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est une constante entre 0 et 1 et ne dépend pas de n?

δ

$\delta$

— Kaveh

Oui. En effet

δ \in [0, 1]

$\delta\in[0,1]$

— Amit Levi

Je ne sais pas si c'est ce que vous recherchez, mais par le lemme de commutation, si une fonction peut être représentée par un DNF de petite largeur, alors elle se réduirait à un arbre de décision de taille constante. Les DNF de petite largeur ont une faible influence totale, et on peut exprimer des arbres de décision via les DNF, donc moralement il semble que ce soit le cas.

Affirmation : Si la restriction aléatoire de a un arbre de décision de taille (en attente), alors l'influence totale de ce est . $\delta$ $f$ $O(1)$ $f$ $O(\delta^{-1})$

$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$ $\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$ $\delta$ $i \in [n]$ $x_i$

Maintenant, si -restriction réduit l'arbre de décision de à la taille , alors en particulier la -restriction de dépend de coordonné. Prenons maintenant une coordonnée non fixe aléatoire (parmi ), et fixons toutes les autres au hasard. Puisque la restriction de dépend au plus de coordonnées , nous obtenons une fonction (sur un bit) qui n'est pas constante avec probabilité au plus . Par conséquent , comme requis. $\delta$ $f$ $O(1)$ $\delta$ $f$ $r = O(1)$ $\delta n$ $\delta$ $f$ $r$ $\frac{r}{\delta n}$ $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Remarque: La revendication ci-dessus est serrée en prenant une fonction de parité sur les bits . $O(1/\delta)$

— Igor Shinkar
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