La vraie complexité des bits de la multiplication matricielle est

La multiplication matricielle utilisant la technique régulière (produit interne ligne-colonne) prend multiplications et additions. Cependant, en supposant des entrées de taille égale (le nombre de bits dans chaque entrée des deux matrices étant multiplié) de bits de taille , l'opération d'addition se produit en fait sur bits.O ( n 3 ) m O ( n 3 n m ) = O ( n 4 m $O(n^{3})$$O(n^{3})$$m$$O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$

Il semble donc que la vraie complexité de la multiplication matricielle si elle est mesurée via la complexité des bits soit .$O(n^{4})$

$(1)$ Est-ce correct?

En supposant que si l'on crée un algorithme qui réduit la complexité des bits à plutôt que les multiplications et additions totales, cela pourrait être une approche plus saine que de réduire les multiplications et additions totales à tel que tenté par des chercheurs tels que Coppersmith et Cohn.O ( n 2 + ϵ$O(n^{3+\epsilon})$$O(n^{2+\epsilon})$

$(2)$ Est-ce un argument valable?

Non, la complexité en bits de la multiplication matricielle sur les entrées à bits est , où est l'exposant de multiplication de matrice le plus connu. La multiplication et l'ajout de nombres à bits peuvent être effectués en fois. La multiplication de deux nombres à bits donne un nombre qui ne dépasse pas bits. L'ajout de nombres de bits chacun, donne un nombre qui n'a pas plus de bits. (Pensez-y: la somme est au plus , donc la représentation binaire ne prend pas plus den ω ( log n ) O ( 1 ) ⋅ M ( log M ) O ( 1 ) ω < 2,4 M M ( log M ) 2 M 2 M n M M + log n + O ( 1 ) n 2 M log ( n 2 M ) + O ( 1 $M$$n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$$\omega < 2.4$$M$$M (\log M)^2$$M$$2M$$n$$M$$M+\log n+O(1)$$n 2^M$$\log (n 2^M)+O(1)$ morceaux.)

Des références à des algorithmes de multiplication d'entiers rapides peuvent être trouvées avec une recherche sur le Web ou wikipedia.