Une caractérisation à profondeur fixe de

C'est une question sur la complexité du circuit. (Les définitions sont en bas.)

Yao et Beigel-Tarui ont montré que chaque famille de circuits de taille possède une famille de circuits équivalente de taille de profondeur deux , où la porte de sortie est une fonction symétrique et le deuxième niveau est constitué des portes de fan-in. Il s'agit d'un "effondrement de profondeur" assez remarquable d'une famille de circuits: à partir d'un circuit de profondeur 100, vous pouvez réduire la profondeur à 2, avec seulement un éclatement quasi-polynomial (et une porte fantaisie mais toujours limitée au sommet). $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$

Ma question: existe-t-il un moyen connu d'exprimer une famille de circuits , de la même manière? Plus ambitieusement, qu'en est-il d'une famille de circuits ? Les réponses potentielles auraient la forme suivante: "Chaque circuit de de taille peut être reconnu par une famille de profondeur deux de taille , où la porte de sortie est une fonction de type et le deuxième niveau de portes est de type " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

Il n'est pas nécessaire que ce soit la profondeur deux, n'importe quel résultat à profondeur fixe serait intéressant. Prouver que chaque circuit peut être représenté en profondeur 3 par un circuit constitué uniquement de grilles à fonction symétrique serait très intéressant. $TC^0$

Quelques observations mineures:

Si , la réponse est trivial pour toute fonction booléenne (nous pouvons exprimer une fonction d' de s). Pour être concret, demandons . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
La réponse est également triviale si ou est autorisé à être une fonction arbitraire calculable dans ... :) Je suis évidemment intéressé par les fonctions "plus simples", peu importe ce que cela signifie. C'est un peu glissant à définir car il existe des familles de fonctions symétriques qui ne sont pas calculables. (Il existe des langages unaires qui ne sont pas calculables.) Si vous le souhaitez, vous pouvez simplement remplacer et par des fonctions symétriques dans la déclaration, mais je serais intéressé par tout autre choix judicieux de portes. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Maintenant, pour quelques brefs souvenirs de notation:

est la classe reconnue par une famille de circuits à profondeur constante, à ventilateur et sans limite, avec desgrilles , et pour une constante indépendante de la taille du circuit. A grille retourne ssi la somme de ses entrées est divisible par . $ACC^0$ $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

est la classe reconnue parcircuits de profondeur constante avec portes de ventilateur à bornes. $TC^0$ $MAJORITY$

est la classe reconnue par les circuits à profondeur logarithmique avec desportes , , de fan-in délimité. $NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

Il est connu que quand la taille du circuit est limité à être polynôme du nombre d'entrées). $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Ryan Williams
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Notez qu'un circuit de profondeur de taille polynomiale

constitué de portes symétriques peut être calculé par un circuit de profondeur de taille polynomiale

constitué de portes MAJ. (Ici, la taille habituelle est le nombre de fils). Donc , fondamentalement , vous demandez si

peut être réduite à la profondeur lui - même?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Oui, c'est une façon de voir les choses! En général, je recherche des simulations intéressantes à profondeur fixe de

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Ryan Williams

Ryan, je ne vois pas quel genre de réponse tu cherches ici. Si vous parlez vraiment de portes symétriques, alors (puisque celles-ci peuvent être simulées à la majorité des deux en profondeur), votre question équivaut à l’effondrement de TC0 à une profondeur constante (peut-être avec une légère augmentation super polynomiale de la taille) - un problème bien connu. problème ouvert. Si vous êtes prêt à "relâcher" la symétrie, le résultat de Barrington semble aussi bon que vous pouvez l'espérer.

— Noam

@ Noam: J'aimerais voir s'il y a d'autres réponses intéressantes. s'il n'y en a pas, je donnerai le 300 à Lance. Il existe également des possibilités intermédiaires, par exemple des circuits de profondeur trois avec une fonction symétrique à la sortie mais pas nécessairement symétrique sur les deux autres couches. Quoi qu'il en soit, y réfléchir pendant 5 minutes vaut déjà la prime de 300 $.

— Ryan Williams

Et maintenant (après le 8 novembre), nous connaissons l'origine de cette question ...

— slimton

Voici un léger développement de mon commentaire à la réponse de Boaz. Agrawal, Allender et Datta dans leur article On , et Circuits arithmétiques $TC^0$ $AC^0$ donnent une caractérisation de en termes de circuits arithmétiques. A savoir, ils montrent que la langue est si et seulement il existe une fonction dans et un nombre entier de telle sorte que $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

si et seulement si . $x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

Notez que est une forme spéciale de circuit arithmétique à profondeur constante sur (seules les constantes 0 et 1 sont autorisées, et les entrées variables peuvent être ou ). $\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

Comme Boaz le fait remarquer dans sa réponse, il existe une réduction de profondeur non triviale pour les circuits arithmétiques, cela pourrait être une chose à examiner.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Le théorème de Barrington devrait vous permettre d'obtenir des circuits de profondeur 3 de tailles multiples pour avec une porte supérieure pas trop étrange (multiplie 5 cycles). $NC^1$

— Lance Fortnow
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Je conviens que le théorème de Barrington implique quelque chose d'intéressant ici. Mais cette porte de sortie est une fonction très "non symétrique" :)

— Ryan Williams

En fait, il semble que vous obteniez un circuit de profondeur 1 ... Représentant une permutation sous la forme (disons) d'une matrice booléenne 5x5, il ne s'agit que de projections sur la porte de permutation-multiplication.

— Noam

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— Boaz Barak
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T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

Kristoffer, pouvez-vous ajouter votre lien en tant que réponse séparée? Merci!

— Ryan Williams

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$