Une autre variante de PARTITION

J'ai une réduction du problème de partition suivant à un certain problème de planification:

Entrée: Une liste $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$ d'entiers positifs dans l'ordre non décroissant.

Question: Existe-t-il un vecteur $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$ tel que

\sum_{je = 1}^{n} {une}_{je} X_{je} = 0 et

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{je = 1}^{k} {une}_{je} X_{je} ⩾ 0 pour tous k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

Sans la deuxième condition, c'est juste PARTITION, donc NP-hard. Mais la deuxième condition semble fournir beaucoup d'informations supplémentaires. Je me demande s'il existe un moyen efficace de décider de cette variante. Ou est-ce toujours difficile?

— Thomas Kalinowski
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Voici une réduction de PARTITION à ce problème. Soit $(a_1,\dots, a_n)$ une instance de PARTITION. Supposons que $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$ .

Soit un «très grand nombre», par exemple . Considérez l'instance de notre problème. $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n fois}{\underset{⏟}{N, \dots, N}}, N + {une}_{1}, \dots, N + {une}_{n}, \underset{n fois}{\underset{⏟}{4 N, \dots, 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

S'il existe une solution à PARTITION alors est une solution à notre problème. $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n fois}{\underset{⏟}{1, \dots, 1}}, - X_{1}, \dots, - X_{n}, X_{1}, \dots, X_{n}, \underset{n fois}{\underset{⏟}{- 1, \dots, - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
S'il existe une solution à l'instance de notre problème (à laquelle nous avons réduit une instance de PARTITION), alors . Ainsi Autrement dit, est une solution à PARTITION. $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{je = 1}^{n} {une}_{je} y_{je} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— Yury
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Merci Yury. Dans mon application, il est essentiel que la liste des entrées soit ordonnée de manière non décroissante, et que l'entrée ne l'est pas. Je vais modifier la question pour rendre la commande plus explicite.

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— Thomas Kalinowski

@thomas: Je ne l'ai pas remarqué. Maintenant, j'ai mis à jour ma solution.

— Yury