Le théorème de Kannan implique-t-il que NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly?

Je lisais un article de Buhrman et Homer "Circuits superpolynomiaux , oracles presque clairsemés et hiérarchie exponentielle" .

Au bas de la page 2, ils remarquent que les résultats de Kannan impliquent que n'a pas de circuits de taille polynomiale. Je sais que dans la hiérarchie de temps exponentielle, est juste , et je sais aussi que le résultat de Kannan est que tel que . Bien sûr, le théorème de Kannan ne dit PAS (pour que ce soit le cas, nous devons montrer que telle sorte que , . Cependant, je ne vois pas comment le résultat de Kannan implique que $NEXPTIME^{NP}$ $NEXPTIME^{NP}$ $\Sigma_2EXP$ $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$ ?

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'
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C'est peut-être plus approprié pour cstheory.se.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Ok, merci. Si un modérateur pense qu'il est plus approprié pour cstheory.se, alors n'hésitez pas à le déplacer.

C'est aussi actuellement sur l'ensemble de problèmes cs354 ...: - / ... J'ai explicitement demandé aux étudiants de ne pas demander à Internet, donc "Lorraine" mieux espère qu'ils ne prennent pas ma classe.

— Ryan Williams

@Sasho, je pense que ce serait bien de le faire, au moins jusqu'à la date d'échéance de la mission.

— Kaveh

@Turbo Je suppose que je pourrais aussi bien, j'espère que ce n'est pas sur le problème de quelqu'un d'autre réglé pour le moment.

— Sasho Nikolov

Cette version de la réponse intègre les commentaires d'Emil Jeřábek.

Pour autant que je puisse voir, le principal inconvénient est qu'il existe un langage dans de complexité de circuit exponentielle. En particulier, fixer un codage binaire des circuits booléens et définir comme le langage défini par $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

$L_n$ n'est décidé par aucun circuit de taille , et $2^{n/2}$

toute langue qui précède lexicographiquement est décidée par un circuit de taille au plus , $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

où la notation signifie la tranche . $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

Pour ce faire en temps exponentiel avec un , vous pouvez utiliser la recherche binaire sur des sous-ensembles de (pensez-y comme des entiers bits) pour trouver le premier un tel ensemble qui a une complexité de circuit . Vous gardez juste la supposition actuelle de , et utilisez l'oracle pour tester s'il existe un de complexité de circuit au moins . Depuis cela donne une machine qui écrit sur la tranche entière , nous pouvons aussi décider clairement l' appartenance à , et, par conséquent, en . $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

C'est tout à fait comme dans l'argument de Kannan, mais mis à l'échelle et rationalisé pour utiliser le temps exponentiel. Vous devriez alors pouvoir utiliser une version à plus grande échelle du théorème de Karp-Lipton pour montrer que si , alors , et vous pouvez effectuer l'analyse de cas dans la preuve de Kannan. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Sasho Nikolov
source

AFAICS votre description donne directement un langage , plutôt que .

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek Mon cerveau n'a jamais pu traiter les machines oracle. Je quantifie la profondeur quatre: est dans s'il existe un circuit de taille tel que et [pour tous les circuits de taille il existe un mot pour lequel ] et [pour tous les qui précèdent dans l'ordre lex il existe un circuit de taille au plus st pour tout

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$ ]. Cela semble être le quatrième niveau de la hiérarchie exponentielle. Qu'est-ce que c'est en notation oracle?

— Sasho Nikolov

Premièrement, "il existe un mot ..." et le quantificateur universel similaire près de la fin ne compte pas car ils sont de taille linéaire, ils peuvent donc être calculés de manière déterministe en temps exponentiel. Deuxièmement, le quantificateur le plus à l'extérieur peut être simulé de façon déterministe en temps exponentiel en utilisant la recherche binaire.

— Emil Jeřábek

Autrement dit, la première fonction booléenne lexicographiquement sur entrées qui n'a pas de circuits de taille peut être trouvée par une recherche binaire à temps exponentiel avec oracle pour le prédicat "il existe une fonction précédant lexicographiquement qui n'est pas calculable par un circuit de taille ".

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Emil Jeřábek

@SashoNikolov Cela fonctionne donc toujours depuis . Cependant, nous ne pouvons pas utiliser si appliquer alors Karp-Lipton dans cstheory.stackexchange.com/questions/39837/… . Nous avons donc et . Cela ne fonctionne pas pour .

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— T ....