Considérez le jeu de cartes suivant (connu en Italie sous le nom de "Cavacamicia", qui peut être traduit par "stripshirt"):

Deux joueurs partagent au hasard en deux jeux un jeu de cartes standard. Chaque joueur reçoit un deck.

Les joueurs alternent en plaçant dans une pile la carte suivante de leur deck.

Si un joueur (A) place une carte spéciale, c'est-à-dire un I, II ou III, l'autre joueur (B) doit déposer consécutivement le nombre de cartes correspondant.

• Si, ce faisant, B place une carte spéciale, l'action s'inverse, et ainsi de suite; sinon, si B place le nombre de cartes correspondant mais pas de carte spéciale, A récupère toutes les cartes qui ont été déposées et les ajoute à son deck. A redémarre ensuite le jeu en plaçant une carte.

Le premier joueur à manquer de cartes perd la partie.

Remarque: le résultat du jeu dépend exclusivement de la partition initiale du jeu. (Ce qui peut rendre ce jeu un peu inutile ;-)

Question: ce jeu se termine-t-il toujours? Et si nous généralisons ce jeu et donnons deux séquences de cartes à chaque joueur?

Concernant Beggar-My-Neighbour

Paulhus (1, p.164) a écrit en 1999:

Si est un jeu de cartes complet, a-t-il un cycle? Nous laissons cette question sans réponse, sauf pour dire que nous n'avons pas pu trouver un accord sur 3,2 milliards choisi au hasard.$C$${D_{2}}^{'}(C)$

Mais Conway et al. (2, p.892) a écrit en 2006:

Strip-Jack-Naked, ou Beggar-My-Neighbour ** 1

Un autre problème qui a mis près de 47 ans à résoudre concerne ce vieux jeu pour enfants. Chacun des deux joueurs commence avec environ la moitié des cartes (tenues face cachée), qu'ils retournent alternativement sur une "pile" face visible sur la table, jusqu'à ce que l'un d'eux (qui est maintenant "le commandant") distribue en premier l'une des «cartes de commandement» (Jack, Queen, King ou Ace).

Une fois que l'un d'eux a été distribué, l'autre joueur (maintenant «le répondant») retourne les cartes en continu jusqu'à SOIT. ** 2 une nouvelle carte de commandement apparaît (lorsque les joueurs changent de rôle ** 3) ou respectivement 1, 2, 3 ou 4 cartes sans commandement ont été retournées. Dans ce dernier cas, le commandant retourne la pile et la joint au fond de sa main. Le répondant commence alors la formation d'une nouvelle pile en retournant sa prochaine carte, et le jeu continue comme avant.

Un joueur qui acquiert toutes les cartes est le gagnant et dans les vrais jeux, il semble que quelqu'un gagne toujours. La question mathématique intéressante, posée par l'un de nous il y a de nombreuses années, était "est-il vraiment vrai que le jeu se termine toujours?" Marc Paulhus a récemment trouvé que la réponse était «non!». Environ 1 match sur 150 000 (joué avec les 52 cartes habituelles) continue indéfiniment.

Nous sommes assez confiants qu'aucune personne n'a joué à ce jeu autant de fois, donc la chance (avec un brassage aléatoire) de vivre un jeu sans fin dans le jeu d'une vie doit être très faible.

Mais tout aussi sûrement, le nombre total de fois où ce jeu a été joué par les 4 enfants du monde doit être nettement supérieur à 150 000, de sorte que beaucoup d'entre eux seront théoriquement sans fin. Nous imaginons cependant que, dans la pratique, la plupart d’entre eux ont effectivement pris fin parce que quelqu'un a fait une erreur.

Malheureusement, je n'ai pu trouver dans (2) aucune référence à la découverte de Paulhus ... J'adorerais voir une séquence de cartes qui donne un jeu sans fin afin de dire que le problème est résolu.

En 2013, Lakshtanov et Aleksenko (3) ont écrit:

Pour les jeux de cartes de type Beggar-My-Neighbour, nous prouvons la finesse de l'attente mathématique de la durée du jeu dans les conditions qu'un joueur qui joue la première carte est choisi au hasard et que les cartes d'une pile sont mélangées avant d'être placées dans la plate-forme. Le résultat est également valable pour les modifications de type général des règles du jeu. En d'autres termes, nous montrons que le graphique de la chaîne de Markov pour le jeu Beggar-My-Neighbour est absorbant; c'est-à-dire qu'à partir de n'importe quel sommet, il y a au moins un chemin menant à la fin du jeu.

mais leurs règles ne sont pas celles que j'ai suivies quand j'ai joué au jeu quand j'étais enfant ;-)

À ma connaissance, le plus long jeu Beggar-my-Neighbour a été trouvé en 2014 par William Rucklidge avec 7960 cartes :

1: -J------Q------AAA-----QQ-
2: K----JA-----------KQ-K-JJK

Concernant Cavacamicia

Je l'ai généralement joué avec un jeu de 40 cartes, les simulations avec un demi-jeu (seulement 20 cartes) donnent 16 parties non terminées sur un total de 3.448.400 parties.

Bibliographie

(1) PAULHUS, Marc M. Beggar mon voisin. American Mathematical Monthly , 1999, 162-165. http://www.jstor.org/stable/2589054

(2) BERLEKAMP, Elwyn R.; CONWAY, John H .; GUY, Richard K. Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 4. AMC, 2003, 10: 12. http://www.maa.org/publications/maa-reviews/winning-ways-for-your-mathematical-plays -volume-4

(3) LAKSHTANOV, Evgenii Leonidovich; ALEKSENKO, Alena Il'inichna. Finitude dans le jeu de cartes Beggar-My-Neighbour. Problèmes de transmission de l'information , 2013, 49.2: 163-166. http://dx.doi.org/10.1134/S0032946013020051