Les réductions devraient-elles nous rendre plus ou moins optimistes quant à la traçabilité d'un problème?

Il me semble que la plupart des théoriciens de la complexité croient généralement à la règle philosophique suivante:

Si nous ne pouvons pas trouver un algorithme efficace pour le problème , et nous pouvons réduire problème A à un problème B , alors il n'y a probablement pas un algorithme efficace pour le problème B , que ce soit.$A$$A$$B$$B$

Voilà pourquoi, par exemple, quand un nouveau problème est prouvé NP-complet , nous déposons simplement loin comme « trop dur » plutôt que de s'enthousiasmés par une nouvelle approche (problème ) qui pourrait enfin montrer P = N P .$B$$P = NP$

J'en discutais avec un collègue étudiant dans un autre domaine scientifique. Elle a trouvé cette idée extrêmement contre-intuitive. Son analogie:

Vous êtes un explorateur, à la recherche d'un pont entre les continents nord-américain et asiatique. Pendant de nombreux mois, vous avez essayé et échoué à trouver un pont terrestre entre la zone continentale des États-Unis et l'Asie. Ensuite, vous découvrez que le continent américain est relié par voie terrestre à la région de l'Alaska. Vous vous rendez compte qu'un pont terrestre entre l'Alaska et l'Asie impliquerait un pont terrestre entre les États-Unis continentaux et l'Asie, dont vous êtes pratiquement sûr qu'il n'existe pas. Vous ne perdez donc pas de temps à explorer près de l'Alaska; tu rentres chez toi.

Notre règle philosophique précédente semble assez idiote dans ce contexte. Je ne pouvais pas penser à une bonne réfutation! Je vous laisse donc la parole: pourquoi devrions-nous traiter une réduction comme rendant le problème B plus difficile plutôt que de rendre le problème A plus facile?$A \to B$$B$$A$

Je pense que c'est une très bonne question. Pour y répondre, nous devons réaliser que:

• toutes les réductions ne se ressemblent pas,
• pour nous sentir optimistes, nous devons apprendre quelque chose de vraiment utile.

Typiquement, chaque fois que nous découvrons une réduction non triviale , elle tombe dans l'une des catégories suivantes:$A \to B$

1. Nous avons appris quelque chose d'utile sur le problème A (et rien sur le problème B).
2. Nous avons appris quelque chose de décourageant sur le problème B (et rien sur le problème A).

Plus précisément, ces deux cas peuvent être caractérisés comme suit:

1. Nous avons découvert que le problème A a une structure cachée, ce qui permet de concevoir un nouvel algorithme intelligent pour résoudre le problème A. Nous avons juste besoin de savoir comment résoudre le problème B.

2. Nous avons réalisé que dans certains cas particuliers, le problème B est simplement un problème A déguisé. Nous pouvons maintenant voir que tout algorithme pour résoudre le problème B doit résoudre au moins ces cas spéciaux correctement; et la résolution de ces cas spéciaux équivaut essentiellement à la résolution du problème A. Nous sommes de retour à la case départ: pour progresser avec le problème B, nous devons d'abord progresser avec le problème A.

Les réductions de type 1 sont courantes dans le contexte de résultats positifs, et ce sont certainement de bonnes raisons de se sentir optimistes.

Cependant, si vous considérez les réductions de dureté que nous rencontrons dans le contexte, par exemple, des épreuves de dureté NP, elles sont presque toujours de type 2.

Notez que même si vous ne savez rien de la complexité de calcul du problème A ou du problème B, vous pouvez néanmoins dire si votre réduction est de type 1 ou de type 2. Par conséquent, nous n'avons pas besoin de croire, par exemple, P ≠ NP à déterminer si nous devons nous sentir optimistes ou pessimistes. Nous pouvons simplement voir ce que nous avons appris grâce à la réduction.

Ce qui manque à l'analogie, c'est une certaine notion des distances relatives impliquées. Remplaçons l'Alaska dans notre analogie avec la lune:

Vous êtes un explorateur, à la recherche d'un pont entre les continents nord-américain et asiatique. Pendant de nombreux mois, vous avez essayé et échoué à trouver un pont terrestre entre la zone continentale des États-Unis et l'Asie. Ensuite, vous découvrez que le continent américain est relié par voie terrestre à la lune. Vous êtes déjà convaincu que la lune est à une grande distance de l'Asie, vous pouvez donc maintenant être sûr que l'Amérique du Nord est également à une grande distance de l'Asie par l'inégalité du triangle.

Il n'est pas vrai que nous considérions toujours les théorèmes de réduction comme des énoncés de dureté. Par exemple, dans les algorithmes, nous réduisons souvent un problème en LP et SDP pour les résoudre. Ceux-ci ne sont pas interprétés comme des résultats de dureté mais des résultats algorithmiques. Cependant, bien qu'il s'agisse techniquement de réductions, nous ne les désignons souvent pas en tant que telles. Ce que nous entendons par réduction est généralement une réduction à un problème difficile (NP-).

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$. La plupart des chercheurs trouvent plus probable que P n'est pas égal à NP, et même conjecture que SAT nécessite un temps exponentiel. En d'autres termes, la SAT est considérée comme très difficile. Si vous acceptez ces conjectures, il est tout à fait raisonnable de considérer les réductions prouvant l'universalité d'un problème pour NP que le problème est difficile. (Pourquoi les chercheurs trouvent-ils que P n'est pas égal à NP plus probablement est un problème différent, il y a eu plusieurs articles de blog sur des blogs théoriques à ce sujet.)

Une partie de la raison pour laquelle nous remplaçons la borne inférieure par des résultats d'universalité (c'est-à-dire qu'il y a une réduction de chaque problème d'une classe au problème) est notre manque de succès à prouver de bonnes bornes inférieures générales (cela est cohérent avec l'état actuel des connaissances que SAT peut être résolu en temps déterministe linéaire).

En fait, la découverte de l'Alaska aurait l'effet inverse, du moins au début. Puisqu'il s'étend si loin vers l'ouest, cela ferait penser aux gens que, hé, peut-être qu'il y a un pont terrestre, après tout (l'analogie étant, hé, peut-être P  =  NP puisque ce nouveau problème NP- complet ressemble à un si bon candidat pour ayant une solution polynomiale). Cependant, une fois l'Alaska exploré à fond et aucun pont terrestre trouvé, les gens seraient probablement plus convaincus qu'avant que l'Asie et les Amériques sont séparées.

la question introduit une analogie / métaphore particulière peu utilisée par les experts et se concentre uniquement sur P / NP et ne mentionne aucune autre classe de complexité, alors que les experts ont tendance à la voir comme un grand univers interconnecté d'entités comme dans le remarquable diagramme créé par Kuperberg . il serait intéressant de compiler une grande liste d'analogies de classes de complexité, il existe de nombreuses analogies de ce type. il parle de "classer" les problèmes avérés comme NP complets et "d'enthousiasme pour les nouvelles approches".

on peut comprendre qu'il y avait au départ une "excitation" à découvrir la classe complète NP, mais une certaine "excitation" s'est estompée après maintenant plus de quatre décennies d'efforts intenses pour prouver que P ≠ NP ne semble pas être allé nulle part prometteur et certains chercheurs pensent que nous ne sont pas plus proches. l'histoire est pleine de chercheurs qui ont passé de longues années à travailler sur des problèmes sans aucun progrès apparent, parfois avec regret plus tard. donc NP complet peut servir (pour reprendre l'analogie d'Aaronson) comme une sorte de "clôture électrique", un avertissement / garde de ne pas trop s'impliquer dans les tentatives (ici littéralement, à plus d'un titre) de problèmes "insolubles".

il est vrai qu'il existe toujours un aspect majeur du "catalogage" des problèmes NP complets. cependant, des recherches massives «plus fines» sur les principaux problèmes complets de NP (SAT, détection des cliques, etc.) se poursuivent. (en fait, un phénomène très similaire se produit avec des problèmes indécidables: une fois prouvé indécidable, c'est comme s'ils étaient considérés comme un "no mans land" pour une enquête plus approfondie.)

de sorte que tous les problèmes NP complets sont prouvés équivalents dans la mesure où la théorie actuelle et cela se voit parfois dans des conjectures frappantes telles que la conjecture d'isomorphisme de Berman-Hartmanis . les chercheurs espèrent que cela changera un jour.

cette question est étiquetée soft-questionavec raison. vous ne trouverez pas de scientifiques sérieux discutant beaucoup d'analogies dans leurs articles, qui se tournent vers la science populaire , préférant plutôt se concentrer sur la précision / rigueur mathématique (et comme souligné dans les directives de communication pour ce groupe). néanmoins, il y a une certaine valeur ici pour éduquer et communiquer avec des étrangers / laïcs.

voici quelques «contre-analogies» pour les profanes ainsi que des «pistes de recherche» pour les concepts. cela pourrait être transformé en une liste plus longue.

• il y a une analogie des territoires dans la question. mais il est plus logique de penser aux grandes régions de la théorie de la complexité, y compris au sein des classes connues comme terra incognita . en d'autres termes, il existe une région de P intersecté NP. P et NP sont assez bien compris, mais on ne sait pas si la région P ⋂ NP-dur (P intersecte NP-dur) est vide ou non.

• Aaronson a récemment donné la métaphore de deux types d'espèces de grenouilles apparemment différents qui ne se mélangent jamais pour P / NP. il a également évoqué la "clôture électrique invisible" entre les deux.

• la physique des particules étudie le modèle standard. la physique étudie la composition des particules tout comme la théorie de la complexité étudie la composition des classes de complexité. en physique, il y a une certaine incertitude quant à la façon dont certaines particules donnent naissance à d'autres («établir des limites») tout comme dans la théorie de la complexité.

• "le zoo de la complexité" , c'est comme beaucoup d'animaux exotiques qui ont des capacités différentes, certains petits / faibles et certains grands / puissants.

• les classes de complexité sont comme un continuum temps / espace lisse comme on le voit dans les théorèmes de la hiérarchie temps / espace avec des «points de transition» clés (étonnamment assez profondément analogues aux transitions de phase de la matière physique) entre les différents états.

• une machine de Turing est une machine avec des "pièces mobiles" et les machines fonctionnent de manière équivalente aux mesures d' énergie , et elles ont des mesures de temps / espace . les classes de complexité peuvent donc être considérées comme une "énergie" associée à des transformations d'entrée-sortie de boîte noire.

• il existe de nombreux analogues possibles de l'histoire des mathématiques, à savoir le problème de la quadrature du cercle, la recherche de solutions algébriques à l'équation quintique, etc.

• Les mondes d'Impaggliazo

• Le nouveau livre de Fortnows contient une analogie scientifique très populaire pour l'exploitation minière.

• Cryptage / décryptage: Turing a travaillé sur ce sujet pendant la Seconde Guerre mondiale et de nombreux théorèmes prouvant les différences de classes de complexité peuvent sembler analogues aux problèmes de décryptage. cela est rendu plus solide avec des papiers comme Natural Proofs où la séparation des classes de complexité est directement liée à la "rupture" des générateurs de nombres pseudo aléatoires.

• Compression / décompression: différentes classes de complexité permettent / représentent différentes quantités de compression de données. par exemple, supposons que P / poly contienne NP. cela signifierait qu'il existe des entités "plus petites" (à savoir des circuits) qui peuvent "coder" des problèmes NP complets "plus importants", c'est-à-dire que les structures (de données) plus grandes peuvent être "compressées" efficacement en structures (de données) plus petites.

• le long de l'analogie zoo / animal, il y a un fort aspect Homme aveugle et éléphant dans la théorie de la complexité. le domaine est encore apparemment / peut-être à ses premiers stades d'un arc très long (ce n'est pas invraisemblable ou inconnu par rapport à d'autres domaines mathématiques qui ont des étendues de siècles ou même de millénaires) et beaucoup de connaissances peuvent être considérées comme partielles, disjointes et fragmenté.

en bref, la question porte sur "l'optimisme associé aux réductions". les scientifiques s'abstiennent généralement d'émotions, voire s'en moquent parfois dans leur recherche purement logique. il y a un équilibre entre le pessimisme à long terme et l'optimisme prudent dans le domaine et bien qu'il y ait une certaine marge pour l'informalité, tous les chercheurs sérieux devraient s'efforcer d'impartialité dans leurs attitudes professionnelles dans le cadre de la description de poste. il est compréhensible que l'accent soit mis sur les petites victoires et l'incrémentalisme et sur le fait de ne pas «se laisser emporter».