Combien d'instances de 3-SAT sont satisfaisables?

28

Considérons le problème 3-SAT sur n variables. Le nombre de clauses distinctes possibles est le suivant:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

Le nombre de cas de problème est le nombre de tous les sous - ensembles de l'ensemble des clauses possibles: . Trivialement, pour chaque , il existe au moins une instance satisfiable et une instance insatisfiable. Est-il possible de calculer, ou du moins d'estimer, le nombre d'instances satisfaisables pour tout n donné? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Antonio Valerio Miceli-Barone
source

Voir aussi la question connexe cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon

Pourriez-vous expliquer comment vous obtenez la formule de comptage? D'où vient le 3! viennent, etc?

— Yan King Yin

Une autre question pour les débutants: si le nombre total de configurations (c'est-à-dire, les affectations de vérité) est , cela signifie que de nombreuses affectations de vérité ne peuvent être exprimées par aucune instance de problème. C'est contre-intuitif à ma connaissance que les formules booléennes sont complètes en ce sens qu'elles peuvent exprimer n'importe quelle table de vérité. Quel est le problème ici?

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Yan King Yin

27

Une longue histoire de travail sur les transitions de phase dans SAT a montré que pour tout fixe , il y a un seuil paramétré par le rapport du nombre de clauses à qui décide de la satisfiabilité. En gros, si le rapport est inférieur à 4,2, alors avec une probabilité écrasante l'instance est satisfiable (et donc une énorme fraction du nombre d'instances avec ces nombreuses clauses et variables est satisfiable). Si le ratio est légèrement supérieur à 4,2, alors l'inverse est vrai - une écrasante majorité d'instances n'est pas satisfaisante. $n$ $n$

Les références sont bien trop nombreuses pour être citées ici: une source d'information est le livre de Mezard et Montanari . Si quelqu'un a des sources d'enquêtes, etc. sur ce sujet, il peut le poster dans les commentaires ou éditer cette réponse (je le ferai CW)

Références:
- Enquête Achlioptas
- Où sont les problèmes vraiment difficiles
- Affiner la transition de phase dans la recherche combinatoire

— Suresh Venkat
source

C'est très intéressant. Quelle est la "probabilité écrasante?" Est-ce quelque chose comme 75% ou 99,9999%?

— Philip White

Je ne m'en souviens pas, pour être honnête. il est paramétré par la distance du rapport au point de basculement et agit comme un sigmoïde (il passe donc à 1 très rapidement). Les enquêtes liées ont probablement plus de détails

— Suresh Venkat

1

@Philip, Suresh: Oui, c'est une "discontinuité" très rapide. Si vous voyez les graphiques, la probabilité d'être satisfait passe brusquement de près de 1 à presque 0. Il est intéressant de noter que le seuil dépend de . De plus, il est intéressant de noter que tout ce comportement semble ne s'appliquer qu'à des instances aléatoires.

k

$k$

— Giorgio Camerani

17

D'une part, la grande majorité des instances ne seront pas satisfaisantes, comme l'a dit le commentaire de Suresh. (En fait, je suppose que si vous échantillonnez une telle instance uniformément au hasard, vous devriez déjà avoir une bonne probabilité d'inclure les huit négations en tant que clauses pour un triple variable, c'est-à-dire insignifiante.) $2^{|C|}$

De l'autre, nous pouvons réduire la limite du nombre d'instances satisfaisables par le nombre qui sont satisfaites par l'affectation tout à zéro: ce serait , comme pour chaque triplet de variables est une clause que nous ne pouvons pas utiliser. $2^{(7/8)|C|}$

On peut alors limiter le nombre d'instances satisfaisables en le multipliant par . Puisque , je suppose que cela ne change déjà qu'un terme d'ordre mineur ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— Magnus Wahlström
source

Lorsque j'ai commencé mes études de doctorat, j'ai montré que si le nombre de clauses pour SAT était supérieur à ces cas n'étaient pas satisfaisants. J'ai également prouvé que si le nombre de clauses se situait entre l'intervalle alors ces instances étaient soit uniquement satisfaisables, soit insatisfaisant. Je ne me souviens pas de la dérivation pour 3-SAT au sommet de ma tête. Ok

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

— Tayfun Payez le

4

Cette réponse ne concerne que le taux de croissance du nombre d'instances satisfaisables.

Un ensemble est rare si le nombre de chaînes de n bits dans l'ensemble est limité par (pour une constante ) sinon il est dense. Il est connu que la satisfiabilité (NP-complet) et l'insatisfiabilité (CoNP-complet) sont toutes deux des ensembles denses. Il existe des ensembles clairsemés de ssi . $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Mohammad Al-Turkistany
source