Exhaustivité NP par rapport aux réels

J'étudie récemment le modèle de calcul BSS (cf. par exemple Complexité et calcul réel; Blum, Cucker, Shub, Smale.)

Pour les réels , on montre que, étant donné un système de polynômes f 1 , ⋯ , f m ∈ R [ x 1 , ⋯ , x n ] , l'existence de zéros est N P R -complète. Cependant, je me demande si ces f sont des polynômes qui n'ont que des coefficients entiers, c'est-à-dire f 1 , ⋯ , f m ∈ Z [ x 1 , ⋯ , x n$R$$f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$f$$f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$, est toujours le problème -hard? (c'est évidemment dans N P R ).$NP_R$$NP_R$

Je suppose que oui, mais existe-t-il une preuve simple?

Je pense que la réponse est non , en supposant (je crois que je donne une preuve ci-dessous, mais il y a suffisamment de problèmes de définition potentiellement délicats ici que je suis prudent à propos de mes revendications).$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$

Preuve que la réponse n'est pas en supposant $\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ : En fait, je pense que la déclaration plus forte suivante est vraie:

Lemme: Pour tout problème de décision BSS sur R , si L poly-time-BSS R réduit à un problème sur les entrées de nombres entiers, alors L ∈ P R .$L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

Preuve du lemme : Supposons qu'il y ait un BSS polynomial R réduction de L à un problème sur les entrées de nombre entier donné par une machine M . Pour les entrées composées de n paramètres réels, déroulez le calcul de M dans un arbre de calcul algébrique. Il n'y a qu'un nombre fini de feuilles et le résultat à chaque feuille est une fonction rationnelle unique dans les paramètres d'entrée. Pour qu'une fonction rationnelle des entrées réelles produise toujours une valeur entière, elle doit être une fonction constante et donc ne pas dépendre de l'entrée. Cependant, la fonction constante utilisée pour chaque feuille peut bien entendu dépendre des branches. Cependant, comme M est une machine uniforme, il ne peut y avoir que O$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$$O(1)$ output nodes, and thus only $O(1)$ output values. Thus $M$ can be trivially modified to in fact decide $L$ in polynomial time. QED

Now, take $L$ to be real feasibility of real polynomials. If $\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$, then $L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$, and by the Lemma there is no reduction from $L$ to any problem on integer inputs (in particular, to real feasibility of integer polynomials).

Problème de promesse? : Un autre problème potentiel avec votre question est que la faisabilité réelle des polynômes entiers peut ne pas être dans , mais seulement dans sa version promise. Le problème ici est que pour vérifier qu'une entrée (comme le coefficient d'un polynôme f i ) est un entier, cela prend du temps qui dépend de la magnitude de x , alors que l'ensemble des instances (toutes les instances, pas seulement les instances oui) pour un problème de décision N P R doit être décidable dans P R , ce dernier signifiant qu'il faut du temps polynomial dans le nombre de paramètres$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ (or at least it seems nontrivial to prove that it is in $\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$).