Référence pour les langues Dyck étant complète en

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Les langages Dyck sont définis par la grammaire suivante $\mathsf{Dyck}(k)$ sur l'ensemble des symboles . Langues Intuitivement Dyck sont les langues de parenthèses équilibré de genre différent. Par exemple,

S \to S S | (_{1} S)_{1} | \dots | (_{k} S)_{k} | ϵ

$S \rightarrow SS \,|\, (_1 S )_1 \,|\, \ldots \,|\, (_k S )_k \,|\, \epsilon$

{(_{1}, \dots, (_{k},)_{1}, \dots,)_{k}}

$\{(_1,\ldots,(_k,)_1,\ldots,)_k\}$

k

$k$

est en

mais

([]) ()

$(\,[\,]\,)\,(\,)$

D y c k (2)

$\mathsf{Dyck}(2)$

ne l'est pas.

([)]

$(\,[\,)\,]$

Dans le journal

Algorithmes dynamiques pour les langues Dyck par Frandsen, Husfeldt, Miltersen, Rauhe et Skyum, 1995,

on prétend que le résultat suivant est le folklore:

est complet sous lesréductions . $\mathsf{Dyck}(k)$ $\mathsf{TC}_0$ $\mathsf{AC}_0$

Y a-t-il une référence connue pour la revendication ci-dessus? En particulier, je recherche des résultats montrant au moins l'un des éléments suivants:

est dans pour arbitraire. $\mathsf{Dyck}(k)$ $\mathsf{TC}_0$ $k$
est -hard pour arbitraire . $\mathsf{Dyck}(k)$ $\mathsf{TC}_0$ $k$

Le document le plus proche que je peux trouver est

Bi-Lipschitz Bijection entre le cube booléen et la balle de Hamming , par Benjamini, Cohen et Shinkar, 2013

qui me redirige vers la reconnaissance de l'espace des journaux et la traduction des langages de parenthèses par Lynch qui a prouvé que (c'est-à-dire les parenthèses équilibrées normales) est dans . $\mathsf{Dyck}(1)$ $\mathsf{TC_0}$

Tous les documents connexes sont également les bienvenus. Merci!

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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5

$\mathsf{NC}^1$

— SamiD
source

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$AC_0$ $\rm Majority$ $Dyck(1)$ $\rm Majority$ $AC_0$ $Dyck(k)$ $k \geq 1$ $AND$ $OR$ $NOT$ $Dyck(1)$

$x \in \{0,1\}^n$ $\rm Majority$
$y \in \{0,1\}^{2n}$ $0$ $(($ $1$ $()$
$i = 1,\dots, n/2$ $z_i$ $y$ $2i$ $z_i = y \circ )^{2i}$
$z_i \in Dyck(1)$ $i = 1,\dots, n/2$

$z_i$ $OR$

$\rm Majority$ $z_i \in Dyck(1)$ ${\rm weight}(x) = n - i$

— Igor Shinkar
source

Merci. Connaissez-vous un papier contenant le résultat ci-dessus? (C'est correct si le papier n'est pas l'original / le plus ancien, j'essaie de retracer l'histoire.)

— Hsien-Chih Chang 之之

Hmmm ... pour une raison quelconque, j'ai supposé qu'une réduction similaire est apparue dans cet article de Lynch ... Je ne connais aucune autre référence pour cela.

— Igor Shinkar