Coloration graphique minimisant le nombre de couleurs dans chaque ensemble indépendant

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La revendication suivante est-elle connue?

Affirmation : Pour tout graphe à sommets, il existe une coloration de telle que chaque ensemble indépendant soit coloré par au plus $G$ $n$ $G$ couleurs. $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— Igor Shinkar
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La revendication suivante est connue de moi, mais peut ne pas compter car elle n'est pas publiée: Tout graphique sur sommets peut être coloré de sorte que tout sous-graphique induit de nombre chromatique au plus utilise au plus couleurs, où . $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

Ceci est une preuve par induction; la motivation était de considérer les colorations qui utilisent peu de couleurs non seulement sur le graphique mais aussi sur tous les sous-graphiques induits. Je ne connais cependant aucun résultat publié.

— Aravind
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Pas tout à fait ce que vous demandez, mais voici une borne inférieure - un graphique pour lequel toute coloration se traduira par un ensemble indépendant coloré par couleurs: $\sqrt{n}$

Prenez exemplaires de $\sqrt{n}$ , et connectez tous les sommets à un seul sommet. $K_{\sqrt{n}}$ $s$

De toute évidence, chaque ensemble de sommets dedifférentssont indépendants, et dans chaque copie de $\sqrt{n}$ $K$ vous pouvez trouver au moins une "nouvelle" couleur. $K_{\sqrt{n}}$

Cette limite inférieure peut facilement être améliorée à ou si nous nous connectonsà un seul sommet, mais il ne reste que $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ couleurs. $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
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Le deuxième exemple ne semble pas améliorer la borne. Je pense que tout IS peut être coloré en utilisant

. Par exemple, pour n = 9,

est coloré en bleu,

en vert et rouge et

en bleu, vert et rouge. Tout IS maximal est coloré par 2 couleurs, pas par 3.

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669

Je ne sais pas ce que tu veux dire. Le deuxième exemple améliore la borne, mais pas asymptotiquement. Vous pouvez construire un ~

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

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t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

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$\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Super8
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1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

1

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

(sur la demande de fusion de profil) meta est un bon endroit pour publier une telle demande.

— Suresh Venkat