Problèmes d'optimisation avec une bonne caractérisation, mais pas d'algorithme en temps polynomial

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Considérez les problèmes d'optimisation de la forme suivante. Soit une fonction calculable en temps polynomial qui mappe une chaîne en un nombre rationnel. Le problème d'optimisation est le suivant: quelle est la valeur maximale de sur les chaînes à bits ? $f(x)$ $x$ $f(x)$ $n$ $x$

Disons qu'un tel problème a une caractérisation minimax , s'il existe une autre fonction calculable en temps polynomial , telle que est valable. Ici, parcourt toutes les chaînes à bits, et parcourt toutes les chaînes à bits; et peuvent être différents, mais ils sont liés polynomialement. $g$

max_{X} F (X) = min_{y} g (y)

$\max_x f(x) = \min_y g(y)$

x

$x$

n

$n$

y

$y$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

De nombreux problèmes d'optimisation naturels et importants ont une telle caractérisation minimax. Quelques exemples (les théorèmes sur lesquels les caractérisations sont basées sont indiqués entre parenthèses):

Programmation linéaire (LP Duality Thm), Débit maximum (Max Flow Min Cut Thm), Max Bipartite Matching (Konig-Hall Thm), Max Non-Bipartite Matching (Tutte's Thm, Tutte-Berge formula), Max Disjoint Arborescences dans le graphique dirigé ( Edmond's Disjoint Branching Thm), Max Spanning Tree Packing in unirected graph (Tutte's Tree Packing Thm), Min Covering by Forests (Nash-Williams Thm), Max Directed Cut Packing (Lucchesi-Younger Thm), Max 2-Matroid Intersection (Matroid Intersection) Thm), Max Disjoint Paths (Menger's Thm), Max Antichain dans un ensemble partiellement ordonné (Dilworth Thm), et bien d'autres.

Dans tous ces exemples, un algorithme polynomial est également disponible pour trouver l'optimum. Ma question:

Existe-t-il un problème d'optimisation avec une caractérisation minimax, pour lequel aucun algorithme de temps polynomial n'a été trouvé jusqu'à présent?

Remarque: la programmation linéaire était dans cet état pendant environ 30 ans!

— Andras Farago
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Dans un certain sens technique, vous demandez si . Supposons que , donc il existe des poly-temps et telle sorte que iff et iff . Cela peut être refondu comme une caractérisation minmax par si et sinon; si et sinon. Maintenant, en effet, nous avons . $P = NP \cap coNP$ $L \in NP \cap coNP$ $F$ $G$ $x \in L$ $\exists y: F(x,y)$ $x \not\in L$ $\exists y: G(x,y)$ $f_x(y) = 1$ $F(x,y)$ $f_x(y) = 0$ $g_x(y) = 0$ $G(x,y)$ $g_x(y) = 1$ $max_y f_x(y) = min_y g_x(y)$

Donc, dans ce sens, tout problème connu pour être dans mais non connu pour être en peut être transformé en réponse à votre question. Par exemple, l'affacturage (disons, la version de décision de savoir si le ème bit du plus grand facteur est 1). $NP \cap coNP$ $P$ $i$

— Noam
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J'avais l'impression que certaines personnes vont même jusqu'à prendre comme définition d'une "bonne caractérisation".

N P \cap c o N P

$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$

— Joshua Grochow

Et pour une liste de ces problèmes, voir mathoverflow.net/questions/31821/…

— Rahul Savani

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Seymour et Thomas ont montré une caractérisation min-max de la largeur des arbres. Pourtant, la largeur des arbres est dure NP. Ce n'est cependant pas tout à fait le type de caractérisation que vous demandez, car la double fonction $g$ n'est pas une fonction polynomiale calculable en temps d'un certificat court. Ceci est très probablement inévitable pour les problèmes NP complets, car sinon nous aurions un problème NP-complet dans coNP, impliquant un effondrement NP = coNP, et je considérerais cela comme un choc.

La largeur arborescente d'un graphe est égal à la plus petite largeur la plus petite d'une décomposition en arbre de . Une décomposition arborescente d'un graphe est un arbre tel que chaque sommet de est étiqueté par un ensemble de sommets de avec la propriété: $G$ $G$ $G$ $T$ $x$ $T$ $S(x)$ $G$

Pour tout , . $x \in V(T)$ $|S(x)| \leq k+1$
L'union de tous les est l'ensemble des sommets du . $S(x)$ $G$
Pour chaque , le sous-graphe de induit par tout pour lequel est connecté. $u \in V(G)$ $T$ $x$ $u \in S(x)$
Chaque arête est un sous-ensemble de certains pour . $(u, v) \in E(G)$ $S(x)$ $x \in V(T)$

Seymour et Thomas ont montré que la largeur d'arbre est égale au nombre de ronces de : le maximum tel qu'il existe une collection de sous-graphes connectés de sorte que: $G$ $k$ $G$

Chacun des deux sous-graphiques se croisent ou sont reliés par une arête.
Aucun ensemble de sommets de frappe tous les sous-graphiques. $k$ $G$

Une telle collection de sous-graphiques est appelée ronce d'ordre $k$

Remarquez comment "le nombre de ronces est au moins " est une instruction , avec les deux quantificateurs sur des ensembles exponentiellement grands. Donc, cela ne suggère pas un certificat facile à vérifier (et s'il y en avait un qui serait vraiment une grande nouvelle, comme je l'ai dit ci-dessus). Pour rendre les choses encore pire, Grohe et Marx a montré que pour chaque il y a un graphique de treewidth tel que tout ronce d'ordre au moins doit se composer de façon exponentielle beaucoup de sous - graphes. Ils montrent aussi qu'il existe de l' ordre ronce $k$ $\exists\forall$ $k$ $k$ $k^{1/2 + \epsilon}$ de taille polynomiale. $k^{1/2}/O(\log^2 k)$

— Sasho Nikolov
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Merci, c'est un très bel exemple, même s'il ne rentre pas dans la catégorie que je recherche. Il est intéressant de noter que ce théorème min-max sur la largeur d'arbre a été publié en 1993, et à cette époque la complétude NP de la largeur d'arbre était déjà connue. Par conséquent, le résultat aurait pu servir de raison de conjecturer NP = coNP. Alors que la limite inférieure exponentielle de la taille des ronces l'a finalement disqualifiée pour ce rôle, cette limite inférieure n'a été publiée que 16 ans plus tard.

— Andras Farago

Andras, à l'époque, il savait aussi que frapper l'ensemble est NP-difficile en général (c'était l'un des 21 problèmes de Karp). Donc, même avec des ronces de taille polynomiale, le calcul de l'ordre n'est pas facile, à moins que vous ne puissiez en quelque sorte utiliser la structure des ronces. Pourtant, il est intéressant de noter que la taille des ronces n'a pas été étudiée plus tôt.

— Sasho Nikolov le

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Les jeux de parité, les jeux à gain moyen, les jeux à prix réduit et les jeux stochastiques simples entrent dans cette catégorie.

Tous sont des jeux à somme nulle à deux joueurs infinis joués sur des graphiques, où les joueurs contrôlent les sommets et choisissent où un jeton doit aller ensuite. Tous ont des équilibres dans les stratégies de position sans mémoire, ce qui signifie que chaque joueur choisit un bord à chaque sommet de choix de manière déterministe et indépendamment de l'histoire du jeu. Étant donné la stratégie d'un joueur, une meilleure réponse de l'autre joueur peut être calculée en temps polynomial, et la relation min-max dont vous avez besoin tient pour la "valeur" du jeu.

Les variantes de décision naturelles de ces problèmes sont en NP et co-NP (en effet UP et co-UP) et les problèmes de fonction, pour trouver un équilibre, résident dans PLS et PPAD.

Les algorithmes avec le temps d'exécution le plus connu sont sous-exponentiels, mais super-polynomiaux (par exemple , oùest le nombre de sommets dans le graphique du jeu). $O(n^\sqrt{n})$ $n$

Voir, par exemple,

David S. Johnson. 2007. La colonne NP-exhausteness: Trouver des aiguilles dans des meules de foin. ACM Trans. Algorithmes 3, 2, article 24 (mai 2007). DOI = 10.1145 / 1240233.1240247 http://doi.acm.org/10.1145/1240233.1240247

— Rahul Savani
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