Classe de complexité de ce problème?

J'essaie de comprendre à quelle classe de complexité appartient le problème suivant:

Exponentiating Polynomial Root Problem (EPRP)

Soit un polynôme avec deg ( p ) ≥ 0 avec des coefficients tirés d'un champ fini G F ( q ) avec q un nombre premier, et r une racine primitive pour ce champ. Déterminez les solutions de: p ( x ) = r x (ou de manière équivalente, les zéros de p ( x ) - r x ) où r x signifie exponentiariser r .$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

Notez que, lorsque (le polynôme est une constante), ce problème revient au problème du logarithme discret, qui est censé être NP-intermédiaire, c'est-à-dire qu'il est en NP mais ni en P ni en NP-complet.$\deg(p)=0$

À ma connaissance, il n'existe pas d'algorithmes efficaces (polynomiaux) pour résoudre ce problème (les algorithmes Berlekamp et Cantor – Zassenhaus nécessitent un temps exponentiel). Trouver les racines d'une telle équation peut se faire de deux manières:

• Essayez tous les éléments possibles dans le champ et vérifiez s'ils satisfont à l'équation ou non. De toute évidence, cela nécessite un temps exponentiel dans la taille en bits du module de champ;$x$

• L'exponentielle peut être réécrite sous forme polynomiale, en utilisant l'interpolation de Lagrange pour interpoler les points { ( 0 , r 0 ) , ( 1 , r 1 ) , … , ( q - 1 , r q - 1 ) } , déterminant un polynôme f ( x ) . Ce polynôme est identique à r x précisément parce que nous travaillons sur un champ fini. Ensuite, la différence $r^x$$\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}$$f(x)$$r^{x}$ , peut être factorisé afin de trouver les racines de l'équation donnée (en utilisant les algorithmes de Berlekamp ou Cantor – Zassenhaus) et les racines lisent les facteurs. Cependant, cette approche est encore pire qu'une recherche exhaustive: car, en moyenne, un polynôme passant par n points donnés aura n coefficients non nuls, même seule l'entrée en interpolation Lagrange nécessitera un espace exponentiel dans la taille des bits de champ.$p(x) - f(x)$$n$$n$

Est-ce que quelqu'un sait si ce problème est également considéré comme NP-intermédiaire ou appartenant à une autre classe de complexité? Une référence sera grandement appréciée. Merci.

va essayer de répondre à cela. il n'y a pas de référence donnée dans la question mais on lui donne un acronyme "EPRP" comme si plus d'une personne l'avait étudié. quelqu'un sait-il si c'est le cas? l'interrogateur MC semble avoir un bkg important dans ce domaine, mais cela aiderait de manière significative à répertorier des références "proches" connues / examinées pour comprendre pourquoi elles ont un écart qui ne couvre pas (?) ce cas soi-disant spécial.

il est généralement utile de trouver les «références disponibles les plus proches» et de déterminer en quoi le problème est différent ou similaire. voici une référence complète qui semble considérer des problèmes étroitement liés. pense que l'interrogateur MC devrait essayer de localiser le cas le plus proche du problème dans cette référence, ou peut-être un autre, puis souligner en quoi ce cas demandé est spécifiquement différent des cas de problèmes généraux donnés dans la référence. la référence a une longue liste de références liées pour vérifier également les problèmes à proximité / liés. il considère la complexité du problème et donne des algorithmes de temps P efficaces pour divers cas.

SUR LA RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS POLYNOMIALES UNIVARIES SUR DES CHAMPS FINIS ET CERTAINS PROBLÈMES CONNEXES Tsz Wo Sze, docteur en philosophie, 2007

... nous présentons un algorithme déterministe en temps polynomial pour résoudre des équations polynomiales sur certaines familles de champs finis. Notez que les équations polynomiales sont de puissantes constructions. De nombreux problèmes peuvent être formulés sous forme d'équations polynomiales.