Le nombre d'états d'automates locaux

Un automate déterministe est appelé -local pour si pour chaque l'ensemble contient au plus un élément. Intuitivement, cela signifie que si un mot de longueur mène à un état, alors cet état est unique, ou dit différemment d'un mot arbitraire de longueur les derniers symboles déterminent l'état vers lequel il mène.k k > 0 w ∈ X k { δ ( q , w ) : q ∈ Q } $\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$$> k$$k$

Maintenant, si un automate est -local, alors il n'a pas besoin d'être -local pour certains , mais il doit être -local pour car les derniers symboles d'un mot déterminer l'état, le cas échéant, uniquement.$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

Maintenant, j'essaie de connecter le nombre d'états et la localité d'un automate. Je conjecture:$k$

Lemme: Soit soit -local, si alors l'automate est aussi-local.$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

Mais je n'ai pas réussi à prouver, des suggestions ou des idées?

J'espère par ce Lemme de tirer quelque chose au sujet du nombre d'états d'un automate qui n'est pas -local pour tous donné fixe , mais -local pour certains .$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Puisque vous dites que devrait avoir au plus un élément, je suppose que vous utilisez la version de DFA où peut être partiel. Alors ceci est un contre-exemple: pour , et . et n'ont évidemment pas d'importance pour cette question.δ X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) = q + 1 q < 4 δ ( 1 , b ) = 2 $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$F q $\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

L'automate est local, mais pas local, puisque .5 T a b a a b = { 0 , 3 $6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Edit: ce contre-exemple ne fonctionne pas, je vais le garder pour que les commentaires aient du sens. Ce qui suit, cependant.

Prenez , avec les transitions . Cet automate est -local, mais pas -local: pour , on obtient les chemins et , soit .0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( b ) 5 4 a a b a 0 $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$$4$$aaba$1 → 2 → 3 → 2 → 3 T a a b a = { 1 , 3 $0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Une réponse tardive, mais la limite sur le délai de synchronisation a été étudiée pour plusieurs classes d'automates: voir par exemple Unambiguous Automata; Béal et al. MCS'08 .

En particulier; il existe une famille d'automates déterministes qui ont un retard comme indiqué dans Sur la limite du délai de synchronisation d'un automate local; Béal et al. TCS'98 , qui correspond à une limite supérieure .O ( | Q | 2$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PS le délai de synchronisation défini dans l'article est le minimal pour lequel l'automate local déterministe est local .$k$$k$