Co-NP-exhaustivité de la tournée TSP minimale?

Ce problème est sorti de mon récent article de blog , supposons que l'on vous donne une visite TSP, est-il co-NP-complet pour déterminer s'il est minime?

Plus précisément, le problème suivant est NP-complet:

Instance: étant donné un graphe complet G avec des arêtes pondérées par des entiers positifs et un cycle C simple qui visite tous les nœuds de G.

Question: Existe-t-il un cycle D simple qui visite tous les nœuds de G de telle sorte que le poids total de toutes les arêtes de D dans G soit strictement inférieur au poids total de toutes les arêtes de C dans G?

Un croquis d'une réduction possible pour prouver qu'il est NP-complet.

De manière informelle, il part d'une formule 3SAT modifiée utilisée pour montrer que 3SAT est ASP-complet (un autre problème de solution) et "suit" la chaîne standard de réductions 3SAT => DIRECTED HAMCYCLE => UNDIRECTED HAMCYCLE => TSP

• Commencez avec une formule 3SAT avec variables et calus ;$\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• Transformez-le en une nouvelle formule ajoutant une nouvelle variable ...;$\varphi'$$t$
• ... et en développant chaque clause en ;$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• A partir de construisez le graphe de structure des diamants utilisé pour prouver que le CYCLE HAMILTONIEN DIRECTE est NP-Complet; supposons que chaque clause correspond au nœud dans ;$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• Modifiez en graphique G ′ = { V ′ , E ′ } en remplaçant chaque nœud u par trois nœuds liés u 1 , u 2 , u 3 et modifiez les arêtes selon la réduction standard utilisée pour prouver l'exhaustivité NP du CYCLE HAMILTONIEN NONDIRECTE de DIRECTED HAMILTONIAN CYCLE ie u 1 est le nœud utilisé pour les bords entrants, u 3 est le nœud utilisé pour les bords sortants;$G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• Convertissez l'instance UNDIRECTED HAMILTONIAN CYCLE sur en une instance TSP T dans laquelle toutes les arêtes de G ′ ont le poids w = 1 , à l'exception de l'arête (unique) du diamant qui passe à l'affectation "positive" de t qui a le poids w = 2 (bord rouge sur la figure ci-dessous); enfin les arêtes ajoutées pour rendre G ' complet ont un poids .$G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Il est clair que l'instance TSP a un cycle simple qui visite tous les nœuds qui correspond à l'affectation satisfaisante de dans laquelle (et ce tour peut être facilement construit en temps polynomial), mais il a un poids total (car il utilise l'arête correspondant à l'affectation qui a le poids 2). a un autre cycle simple qui visite tous les nœuds avec un poids total inférieursi et seulement si l'arête de poids qui correspond à l'affectation n'est pas utilisée; ou de manière équivalente si et seulement s'il existe une autre affectation satisfaisante deφ ′ t = t r u e | V ′ | + 1 t = t r u e T | V ′ | 2 t = t r u e φ ′ t = f a l s e $T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$$2$$t = true$$\varphi'$où ; mais cela peut être vrai si et seulement si la formule d'origine est satisfaisable.$t = false$$\varphi$

J'y réfléchirai davantage et j'écrirai une preuve formelle (si cela ne s'avère pas faux :-). Faites-moi savoir si vous avez besoin de plus de détails sur un ou plusieurs des passages ci-dessus.

Comme l'a noté domotorp, une conséquence intéressante est que le problème suivant est NP-complet: étant donné un graphe et un chemin hamiltonien, G a-t-il un cycle hamiltonien?$G$$G$

Papadimitriou et Steiglitz (1977) ont montré que NP est complet sur ce problème.