Un problème de décision qui n'est pas connu pour être en PH mais qui sera en P si P = NP

Edit : Comme Ravi Boppana l'a correctement souligné dans sa réponse et Scott Aaronson a également ajouté un autre exemple dans sa réponse , la réponse à cette question s'est avérée «oui» d'une manière à laquelle je ne m'attendais pas du tout. J'ai d'abord pensé qu'ils n'avaient pas répondu à la question que je voulais poser, mais après réflexion, ces constructions répondent à au moins une des questions que je voulais poser, à savoir: «Existe-t-il un moyen de prouver un résultat conditionnel 'P = NP ⇒ L ∈P 'sans prouver le résultat inconditionnel L ∈PH? ”Merci, Ravi et Scott!

Existe-t-il un problème de décision L tel que les conditions suivantes soient toutes les deux remplies?

• L n'est pas connu pour être dans la hiérarchie polynomiale.
• On sait que P = NP impliquera L ∈P.

Un exemple artificiel est aussi bon qu'un exemple naturel. De plus, bien que j'utilise la lettre « L », cela peut être un problème de promesse au lieu d'une langue si cela aide.

Contexte . Si nous savons qu'un problème de décision L est dans la hiérarchie polynomiale, alors nous savons que «P = NP ⇒ L ∈P». L'intention de la question est de demander si l'inverse est vrai. Si un langage L satisfaisant aux deux conditions ci-dessus existe, il peut être considéré comme une preuve de l'échec de l'inverse.

La question a été motivée par le commentaire intéressant de Joe Fitzsimons à ma réponse à la question de Walter Bishop « Conséquences de #P = FP ».

Puisque cela ne vous dérange pas un langage artificiel, que diriez-vous de définir comme étant vide si P est égal à NP et comme étant le problème d'arrêt si P n'est pas égal à NP. D'accord, c'est un peu une triche, mais je pense que vous devrez reformuler le problème pour éviter de telles tricheries. $L$

Si un exemple artificiel est vraiment aussi bon qu'un naturel, alors je peux en effet fournir un tel exemple!

Edit: En outre, mon exemple est "un peu" moins une triche que celui suggéré par Ravi Boppana (où nous prenons L pour être la langue vide si P = NP et le problème d'arrêt autrement), en ce que je définirai la langue L en donnant une procédure finie pour décider si L pour toute entrée x. A aucun moment, décider si x∈L nécessite de résoudre une question mathématique "non bornée" telle que P vs. NP.$x \in$

Sans plus tarder: laisser $M_1, M_2, ...$être une énumération des machines Turing polytime. Pour tout , soit M t ( n ) le premier lexicographiquement M i qui décide correctement 3SAT sur toutes les entrées de longueur n ou moins. Définissez ensuite le langage L comme suit: pour toutes les entrées x de taille n , x ∈ L si et seulement si la machine de Turing codée par x s'arrête au plus n t ( n $n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$$n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$ étapes lors de l'exécution sur une bande vierge.

Allégation 1: si P = NP, alors L P.$\in$

Preuve: si P = NP, alors il y a un certain fixe qui résout 3SAT pour toutes les entrées; d'où t ( n ) $M_i$ pour tout n . QED$t(n) \le i$$n$

Allégation 2: Si P NP, alors L ∉ P.$\ne$$\notin$

Preuve: si augmente sans limite, alors nous pouvons simplement appliquer le théorème de la hiérarchie temporelle. QED$t(n)$

Maintenant, non seulement L n'est pas dans P en supposant P NP: on suppose qu'il ne serait pas non plus en PH (ou même PSPACE)!$\ne$

Par ailleurs, je me demande si quelqu'un peut améliorer la construction ci-dessus, pour obtenir un langage L qui est en P si P = NP, mais prouvablement pas en PH ou PSPACE si P $\ne$ NP?

Répondant à la question de Scott Aaronson, mais un peu trop long pour un commentaire, voici une construction d'un langage tel que P = $L$ implique L ∈ P , mais P ≠ N P implique L ∉ P $P = NP$$L \in P$$P \neq NP$$L \notin PH$ .

Soit et t ( n ) comme dans la construction de Scott. On fait en sorte que L ne se réduise pas à Σ k S A T pour chaque k , mais on ne le fait que si t ( n ) → ∞ (ie si P ≠ N P ). La construction se déroule par étapes. Au stade s = ( i , j $M_1, M_2, M_3, \dotsc$$t(n)$$L$$\Sigma_{k} SAT$$k$$t(n) \to \infty$$P \neq NP$$s=(i,j)$ (en utilisant une bijection facilement calculable et facilement inversible ), nous nous assurons que M i n'est pas une réduction de plusieurs de L à Σ j S A T . Soit$\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$$M_i$$L$$\Sigma_{j} SAT$ le plus petit entier tel quet( n s )>t( n s - 1 )(cas de base: n 0 =1). S'il existe un tel entier n $n_{s}$$t(n_{s}) > t(n_{s-1})$$n_{0} = 1$$n_{s}$ , alors définissez . S'il n'y a pas un tel entier n s , nous laissons L vide pour toujours.$L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$$n_{s}$$L$

Si , alors t ( n ) → ∞ comme n → ∞ , donc il y a toujours un tel n s , d' où L est pas dans P H . Si P = N P , alors mon L est différent de ne finiment Scott de L , et est donc dans P .$P \neq NP$$t(n) \to \infty$$n \to \infty$$n_{s}$$L$$PH$$P = NP$$L$$L$$P$