Fonctions booléennes où la sensibilité est égale à la sensibilité du bloc

Une partie des travaux sur la sensibilité par rapport à la sensibilité aux blocs visait à examiner les fonctions avec un écart aussi grand que possible entre $s(f)$ et $bs(f)$ afin de résoudre la conjecture selon laquelle $bs(f)$ n'est que polynomialement plus grand que $s(f)$ . Et la direction opposée? Que sait-on des fonctions où $s(f) = bs(f)$ ?

Trivialement, les fonctions constantes ont $0=s(f)=bs(f)$ . Également trivialement, toute fonction avec $s(f) = n$ également $s(f) = bs(f)$ . Il n'est pas trivial mais pas trop difficile de montrer qu'une fonction monotone satisfait également cette égalité. Y a-t-il d'autres belles classes de fonctions qui ont $s(f) = bs(f)$? Une caractérisation complète serait idéale. Et si nous renforçons encore les exigences à $s^0(f) = bs^0(f)$ et $s^1(f) = bs^1(f)$ ?

La motivation de cette question est simplement d'obtenir une certaine intuition sur la façon dont la sensibilité est liée à la sensibilité du bloc.

Définitions

Soit $f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$ une fonction booléenne sur des mots à $n$ bits. Pour $x \in \{0,1\}^n$ et $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$ , laissez - $x^A$ désignent les $n$ mots de bits obtenus à partir de $x$ en faisant basculer les bits spécifiés par $A$ . Dans le cas où $A = \{i\}$ , nous désignerons simplement ceci comme$x^i$ .

Nous définissons le sensitivity of $f$ at $x$ as $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$. In other words, it is the number of bits in $x$ that we can flip in order to flip the output of $f$. We define the sensitivity of $f$ as $s(f) = \text{max}_x s(f,x)$.

$f$$x$ (denoted $bs(f,x)$) as the maximum $k$ such that there are disjoint subsets $B_1, B_2, \ldots, B_k$ of $\{1,2,\ldots, n\}$ such that $f(x^{B_i}) \neq f(x)$. We define the block sensitivity of $f$ as $bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$.

Finally, we define the 0-sensitivity of $f$ as $s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$. We similarly define 1-sensitivity, 0-block sensitivity, and 1-block sensitivity , denoted $s^1(f)$, $bs^0(f)$, and $bs^1(f)$, respectively.

Recently, I proved that s(f) = bs(f) for unate functions and read-once functions over the Boolean operators AND, OR and EXOR, and my paper including the results was accepted to TCS 2014. (http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-44602-7_9)

You may be attacking this problem. If so, I feel sorry, but I started to attack the problem independently before the question was posted. A preliminary version of my paper was presented at a Japanese domestic meeting in Dec/2013 and the submission deadline was Oct/2013. (http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/)