Algorithmes exacts pour l'ensemble à dominante r sur les graphiques à largeur d'arbre bornée

Etant donné un graphe, , je veux trouver un optimal r -domination pour G . C'est, je veux un sous - ensemble S de V tel que tous les sommets de G sont à une distance d'au plus r de un sommet en S , tout en minimisant la taille S .$G = (V, E)$$r$$G$$S$$V$$G$$r$$S$$S$

D'après ce que j'ai vérifié jusqu'à présent, j'ai obtenu ce qui suit: Il y a ce problème connexe de trouver un -center dans un graphe qui est un sous-ensemble S de taille au plus k telle que tous les sommets du graphe sont à une distance d'au plus r d'un sommet de S (ici | S | ≤ k et r font tous deux partie de l'entrée) pour lesquels Demaine et al . avoir un algorithme FPT pour les graphes planaires. Sinon, le problème est W [ 2 ] -hard pour même r = 1 .$(k,r)$$S$$k$$r$$S$$|S| \leq k$$r$$W[2]$$r = 1$

Sait -on quelque chose sur la complexité exacte du problème de la -domination pour les graphiques de largeur d'arbre borné ou même pour les arbres? (La r -domination MSO est-elle définissable? Le problème d'ensembles k- dominants habituel est MSO définissable - ce qui permettrait alors d'utiliser le théorème de Courcelle pour conclure qu'il existe un algorithme de temps linéaire pour le problème). Existe-t-il des résultats de dureté conditionnelle connus concernant ce problème?$r$$r$$k$

Une -domination (optimale) pour G est une domination (optimale) pour la r e puissance G r et vice versa ( G r est obtenu à partir de G en ajoutant de nouvelles arêtes entre des sommets de distance distincts au plus r ).$r$$G$$r$$G^r$$G^r$$G$$r$

Les faits suivants sont bien connus: (1) Tous les pouvoirs d'un graphe fortement chordal sont fortement chordal (A. Lubiw, mémoire de maîtrise; voir aussi Dahlhaus & Duchet, On fortement chordal graphs, Ars Combin.24 B (1987) 23-30 ), et (2) La domination est résoluble en temps linéaire pour les graphes fortement accordés (M. Farber. Domination, domination indépendante et dualité dans les graphes fortement accordés, Discrete Appl. Math., 7 (1984) 115–130). Ainsi la -domination est résoluble en temps polynomial pour les graphes fortement cordés, en particulier pour les arbres ( r fixe ou non).$r$$r$

Gurski et Wanke ont prouvé dans cet article que la largeur de clique de est au plus 2 ⋅ ( r + 1 ) tw ( G ) + 1 - 2 , où tw ( $G^r$$2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$ est l'arbre de largeur de G . Ainsi, pour r fixe, les r es puissances des graphes à largeur d'arbre bornée ont une largeur de clique bornée. Par conséquent, pour r fixe, la r -domination est résoluble en temps polynomial pour les graphiques de largeur d'arbre bornés (par le théorème de Courcelle). $\text{tw}(G)$$G$$r$$r$$r$$r$

Il est assez facile de faire de la programmation dynamique sur des graphiques de la largeur d'arbre pour ce problème. On peut garder pour chaque sommet dans un sac la distance la plus courte à un sommet dans la solution partielle et la distance à la future solution nécessaire pour dominer les sommets non dominés.$k$

Cela donne au total une taille de table de $O(r^k)$ donc pour fixe ce problème est paramétré FPT par la largeur d'arbre, cependant si r n'est pas fixé cela devient un algorithme XP. Autant que je sache, la question de savoir si ce problème est FPT pour toutes les valeurs de r est ouverte.$r$$r$$r$

Dawar et Kreutzer ont montré que le problème ne peut être traité avec des paramètres fixes sur aucune classe dense de graphiques, ce qui inclut les graphiques planaires, les graphiques de la largeur d'arbre limitée (locale) et toutes les classes avec des mineurs exclus (localement).

Dvorak a montré qu'il existe une approximation polynomiale à facteur de constante de temps pour les classes d'expansion bornée, qui comprend les graphiques planaires, les graphiques de la largeur d'arbre borné et toutes les classes avec des mineurs exclus.

$G$$r$$G$$w$$r$$G$$O((2r+1)^wn)$$O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$$\epsilon > 0$

Un algorithme séquentiel linéaire pour calculer une r-domination optimale pour un arbre est dû à Slater:

P. Slater. R-domination dans les graphiques. J. ACM, 23 (3): 446–450, juillet 1976. doi: 10.1145 / 321958.321964

Un algorithme distribué pour le même paramètre est dû à Turau et Köhler:

Volker Turau et Sven Köhler. Un algorithme distribué pour la distance minimale-k Domination dans les arbres. Journal of Graph Algorithms and Applications, 19 (1): 223–242,5 (voir http://jgaa.info/getPaper?id=354 )