Croissance comparée du nombre de classes syntaxiques et de classes Nerode.

Pour un langage L ⊆ Σ ^ * , définissez la congruence syntaxique ≡ de L comme la moindre congruence sur Σ ^ * qui sature L , soit:

u ≡ v ⇔ (∀ x, y) [xuy ∈ L ↔ xvy ∈ L].

Définissez maintenant l' équivalence Nerode comme la congruence droite suivante:

u ∼ v ⇔ (∀ x) [ux ∈ L ↔ vx ∈ L].

Soit [u] la classe d'équivalence de u par rapport à ≡ et 〈u〉 par rapport à ∼ . Définissez maintenant i (n) comme le nombre de [u] différents pour u de taille n , et définissez j (n) de la même manière pour ∼ .

Maintenant, la question est de savoir comment les deux fonctions sont liées?

Par exemple, un théorème standard (Kleene-Schützenberger, je crois) dit que i (n) est limité par une constante chaque fois que j (n) l' est, et réciproquement.

Question: Y a - t-il un autre résultat dans cette tendance? Et si l'un d'eux est polynomial, par exemple?

Il semble que cet article http://arxiv.org/abs/1010.3263 peut être pertinent pour votre question.

Le résumé déclare:

La complexité d'état d'une langue régulière est le nombre d'états dans l'automate déterministe minimal acceptant la langue. La complexité syntaxique d'un langage régulier est la cardinalité de son semi-groupe syntaxique. La complexité syntaxique d'une sous-classe de langues régulières est la complexité syntaxique la plus défavorable prise en fonction de la complexité d'état des langues de cette classe. Nous étudions la complexité syntaxique de la classe des langages idéaux réguliers et de leurs compléments, les langages fermés. Nous prouvons que n n - 1 est une limite supérieure stricte sur la complexité des idéaux droits et des langues fermées par des préfixes, et qu'il existe des idéaux gauches et des langues fermées par des suffixes de complexité syntaxique n n $n$$n^{n-1}$, et idéaux bilatéraux et langages fermés aux facteurs de complexité syntaxique n n - 2 +(n-2) 2 n - 2 +1.$n^{n-1}+n-1$$n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$

Ainsi, pour autant que je comprends, cela répond à votre question sur les tailles des semigroupes syntaxique et Myhill-Nerode: en général, la congruence syntaxique peut avoir de façon exponentielle plusieurs classes que la relation Myhill-Nerode.

$n^n$$n$