Transformation Beigel-Tarui des cricuits ACC

Je lis l'annexe sur les limites inférieures de l'ACC pour NEXP dans le livre Arora et Barak's Computational Complexity . http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf L'un des lemmes clés est une transformation des circuits $ACC^{0}$ en polynômes multilinéaires sur les entiers avec un degré polylogarithmique et des coefficients quasipolynomiaux, ou équivalents , la classe de circuits $SYM^{+}$ , qui est la classe des circuits de profondeur deux avec de nombreuses portes ET quasi-polynomiales à son niveau inférieur avec un fan-in polylogarithmique et une porte symétrique au niveau supérieur.

Dans l'annexe du manuel, cette transformation comporte trois étapes, en supposant que l'ensemble de portes se compose de OR, mod , mod 3 et la constante 1 . La première étape consiste à réduire l'éventail des portes OU à l'ordre polylogarithmique.$2$$3$$1$

Utilisation de l'isolement Valiant-Vazirani lemme, les auteurs obtiennent que , compte tenu d' une porte OU sur entrées de la forme O R ( x 1 , . . . , X 2 k ) , si nous choisissons h soit une paire fonction de hachage indépendant , de [ 2 k ] à { 0 , 1 } , puis pour tout x non différent de ∈ { 0 , 1 } 2 k , avec une probabilité d'au moins 1 /$2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$ il retiendra que Σ i : h ( i ) = 1 x i mod  2 .$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

N'est la probabilité de au moins une / 2 ? Il semble que une / dix k est une faible limite inférieure.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

La deuxième étape consiste à passer aux portes arithmétiques et à pousser les multiplications vers le bas. Dans cette étape, nous transformerons les circuits booléens avec une chaîne d'entrée binaire donnée en un circuit arithmétique avec une entrée entière.

Ici , ils notent que est remplacé par 1 - x 1 x 2 ⋯ x k , et M O D p ( x 1 , . . . , X k ) est remplacé par ( Σ i = 1 , . . . , k x i ) p $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ utilisant le petit théorème de Fermat.$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

Pourquoi ce remplacement donne-t-il un circuit équivalent ?$SYM^{+}$

La probabilité de n'est-elle pas au moins 1/2? Il semble que 1 / ( 10 k ) soit une borne inférieure faible.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

En fait, la réponse est non. (Il serait que détient avec une probabilité d' au moins 1 / 2 - ε , si nous travaillions avec une ε famille de hachage -biased, et même en utilisant ε hachage -biased permet d'améliorer les paramètres de la construction, mais l'indépendance par paire n'est pas nécessairement biaisée en ε .)$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

Il semble qu'ils manquent une étape supplémentaire ici. Pour appliquer directement Valiant-Vazirani, vous devez également choisir au hasard la plage de la fonction de hachage. Plutôt que de choisir un aléatoire indépendant par paire : [ 2 k ] → { 0 , 1 } , il semble que vous devriez choisir aléatoire ℓ ∈ { 2 , … , k + 1 } , puis choisir un h aléatoire indépendant par paire : [ 2 k ] → { 0 , 1 } $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$. (Ici, j'utilise délibérément la déclaration d'Arora-Barak de Valiant-Vazirani, page 354.) Soit le nombre de x i = 1 . Valiant-Vazirani dit que lorsque vous avez choisi ℓ tel que 2 ℓ - 2 ≤ s ≤ 2 ℓ - 1 , alors la probabilité que Σ i : h ( i ) = 1 x i = 1 (sur les entiers!) Soit au moins 1 / huit .$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

So by picking random $\ell$ and picking random pairwise independent $h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$, then you have probability at least $1/(8k)$ that $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$. To simulate the random choice of $\ell$ in the circuit, you could simply take the $OR$ over all possible $\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$ fonctions de hachage dans chaque ensemble.

Pourquoi ce remplacement donne-t-il un circuit SYM + équivalent?

Un circuit SYM de ET (c'est-à-dire SYM +) de taille $K$ est essentiellement équivalent à avoir un polynôme multivarié $h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$ with at most $K$ monomials, a lookup table $g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$, and computing $g(h(x_1,\ldots,x_n))$. (For instance, a proof can be found in Beigel-Tarui.) The intuition is that each monomial in $f$ is an AND gate, and $g$ is the SYM gate. I say "essentially equivalent" because the multilinear polynomial $h$ could also have negative coefficients for some terms, and negative coefficents are not obviously implementable in SYM of AND. But I claim (and Beigel and Tarui claim) that this is not a problem. Think about it :)