Est avec borné sortance plus faible que ?

Dans l'enquête "Small Depth Quantum Circuits" de D. Bera, F. Green et S. Homer (p. 36 de ACM SIGACT News, juin 2007 vol. 38, no. 2) , j'ai lu la phrase suivante:

La version classique de (dans laquelle les portes et ont un fanout au plus constant) est manifestement plus faible que . $QAC^0$ $AND$ $OR$ $AC^0$

Une référence pour cette réclamation est manquante. J'appellerai cette classe , où signifie "faned borné". (Le Complexity Zoo est en panne et je ne peux pas vérifier si une telle classe a déjà un nom dans la littérature). Si nous supposons un fanout illimité pour les bits d'entrée, alors ces circuits semblent être équivalents à des formules à profondeur constante jusqu'à une augmentation polynomiale de la taille, donc la revendication ci-dessus n'a pas de sens. Au lieu de cela, si nous supposons également un fanout borné pour les bits d'entrée, je ne peux penser à aucun langage qui sépare cette classe de . Un candidat possible pourrait être la langue , c'est -à- dire la langue des chaînes avec un seul 1. Il est facile de montrer $AC^0_{bf}$ $bf$ $AC^0$ $X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$ $X \in AC^{0}$ , mais je n'ai pas réussi à prouver que . $X \notin AC^{0}_{bf}$

Les questions sont:

Est en fait plus faible que ? Si c'est le cas, une idée ou une référence sur la façon de le prouver? Et quelle est la langue qui sépare ces deux classes? Et ? $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $X$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Alessandro Cosentino
source

Le fan-out de délimitation des bits d'entrée rendra le circuit de taille linéaire. Toute fonction qui nécessite une taille super-linéaire les séparera.

A C^{0}

$AC^0$

— Kaveh

@Kaveh: Peut-être pourriez-vous republier cela comme une réponse, avec peut-être un exemple d'une fonction explicite qui nécessite des circuits taille super-linéaire et peut-être une référence qui montre la taille de la borne inférieure? (Ou inclure l'argument dans votre réponse s'il est très simple?)

A C^{0}

$AC^0$

— Robin Kothari

@Kaveh Merci. Je ne savais pas que la séparation entre et les circuits à profondeur constante de taille linéaire (apparemment appelés ) était connue. La référence est "Restrictions déterministes dans la complexité des circuits" par S. Chaudhuri et J. Radhakrishnan. @Kaveh Pouvez-vous faire de votre commentaire une réponse?

A C^{0}

$AC^0$

L C^{0}

$LC^0$

— Alessandro Cosentino

Comme indiqué à la question de suivi cstheory.stackexchange.com/questions/7447/… , est identique à la formule de taille linéaire.

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— domotorp

Une limite de fan-out des bits d'entrée et des portes rendra la taille du circuit linéaire. Soit une borne sur le fan-out des portes et entrées. Il s'agit d'un DAG avec un degré max out délimité par et un chemin max de longueur . Le nombre de fils disponibles dans chaque niveau peut augmenter fois, et le nombre de fils disponibles en haut est , donc le nombre total de fils dans le circuit est au plus qui est . $k$ $k$ $d$ $k$ $kn$ $kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$ $O(n)$

Toute fonction qui nécessite une taille super-linéaire séparera la classe de fonctions avec fan-out borné (appliqué également aux bits d'entrée) de . Voici quelques exemples: $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

[CR96]: Une fonction qui nécessite une taille super-linéaire est le sélecteur approximatif . Un sélecteur approximatif est une fonction dont la valeur est: $\mathsf{AC^0}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$
- $0$ chaque fois que le nombre de s est au maximum , $1$ $\frac{n}{4}$
- $1$ chaque fois que le nombre de s est au maximum , $0$ $\frac{n}{4}$
- peut être ou sinon. $0$ $1$
[Ros08] montre que la -clique a fonctions complexité ( bits d'entrée sont les bords possibles d'un graphe avec sommets). Cela donne une super ligne de taille inférieure pour . $k$ $\mathsf{AC^0}$ $n^{\Theta(k)}$ $n^2$ $n$ $k\gt 2$
Il est probablement possible de généraliser l'exemple de la boîte 2 à l'existence de toute sous-structure induite fixe non triviale (nécessitant plus d'un bit) dans une structure non ordonnée donnée, par exemple:
- existence d'un chemin de longueur 2 dans un graphe donné,
- $\#_1(x)=2$ ,
car ils nécessitent un nombre de portes super constant en fonction d'un bit qui n'est pas possible dans . $\mathsf{AC^0_{bf}}$
L'exemple le plus simple est une porte duplicateur, c'est-à-dire une porte qui crée des copies de son bit d'entrée. Ce n'est pas possible dans car seul de portes peut dépendre de chaque bit d'entrée. $\omega(1)$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $O(1)$

De même, tout circuit de taille peut être transformé en une formule de taille au plus et a donc une formule de taille donc toute fonction de la complexité de la formule superlinéaire ne sera pas dans . $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $S$ $k^dS$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $k^{2d+1}n$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$

Les références:

[CR96] S. Chaudhuri et J. Radhakrishnan, " Restrictions déterministes dans la complexité des circuits ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " Sur la complexité en profondeur constante de k-Clique ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, " Complexité de la fonction booléenne: avancées et frontières ", projet

— Kaveh
source

Une séparation plus récente entre

découle de ce résultat dû à Benjamin Rossman. Il montre que pour tout

constant (aussi certains

croissants ) et

constant , tout circuit de profondeur

pour

-clique sur un graphe à

sommets doit avoir une taille

. Cela implique que la hiérarchie des langages acceptés par les circuits

de taille

(pour différents

L C^{0}

$LC^0$

A C^{0}

$AC^0$

k

$k$

k

$k$

d

$d$

d

$d$

k

$k$

n

$n$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

A C^{0}

$AC^0$

n^{k}

$n^k$

k

$k$ ) est en fait infini.

— Srikanth

J'ai mis à jour la réponse, grâce à Alessandro, domotorp, Robin, Srikanth et Stasys.

— Kaveh

@Kaveh: Très bien, merci. Si vous trouvez un moyen de modifier le résultat de Rossman, je serai intéressé de l'entendre. Quant à la fonction seuil-2, je pense que nous pouvons montrer qu'elle n'est pas dans cette classe en notant que toutes les fonctions de cette classe ont des formules de taille linéaire, et le seuil-2 a une taille de formule borne inférieure de

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

— Robin Kothari

P_{k}

$P_k$

k

$k$

A C^{0}

$AC^0$

2^{k} n^{O (1)}

$2^kn^{O(1)}$

@Kaveh: Je suis désolé, j'aurais dû fournir une référence. Le document que vous signalez a initié la méthode de codage couleur pour trouver rapidement des chemins et d'autres sous-graphiques. Amano, dans cet article, a été le premier à souligner que les algorithmes pouvaient être implémentés dans .

A C^{0}

$AC^0$

— Srikanth