La hiérarchie

$\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{TC^0_d} \subsetneq \mathsf{TC^0_{d+1}}$ $d$

L'entrée Zoo pour $\mathsf{TC^0}$ ne mentionne que la séparation entre la profondeur 2 et 3.

Existe-t-il également une référence standard pour le fait que la hiérarchie $\mathsf{AC^0_d}$ ne s'effondre pas?

— Kaveh
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Une question connexe serait: combien de fonctions distinctes y a-t-il dans

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$ /

T C_{d}^{0}

$TC_d^0$ ? Une limite inférieure raisonnable sur ces quantités répondrait à vos questions. Une preuve de l'étanchéité du lemme de commutation de Hastad répondrait peut-être à votre deuxième question.

— MCH

Pour la deuxième question, je pense qu'elle a été prouvée pour la première fois dans le document STOC '83 de Sipser "Ensembles de Borel et complexité des circuits" . Cela ne donne cependant que des bornes inférieures super-polynomiales. Les premières bornes inférieures exponentielles ont été données par Yao, améliorées plus tard par Håstad.

— Robin Kothari

@MCH, vouliez-vous écrire

T C_{d}^{0} / A C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}/\mathsf{AC^0_d}$ ? Ou voulez-vous dire le nombre de classes d'équivalence de problèmes dans les réductions de

T C_{d}^{0}

$\mathsf{TC^0_d}$ rapport à

A C_{d}^{0}

$\mathsf{AC^0_d}$ ?

— Kaveh

Ce que je veux dire est très simple: combien de fonctions distinctes la classe de circuits de taille représenter? (Nous pouvons estimer le nombre de circuits très facilement mais nous devons faire attention à ce que certains d'entre eux puissent calculer la même fonction.) Une fois que vous montrez que cette quantité croît avec , vous avez terminé.

A C_{d}^{0}

$AC_d^0$

s

$s$

d

$d$

— MCH

@Dilworth, non uniforme. Le comptage ne semble pas fonctionner, sinon comme je l'ai noté ci-dessous, nous pourrions alors séparer de qui est ouvert.

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Kaveh

Réponses:

Nous ne connaissons aucune bonne borne inférieure (c'est-à-dire, disons, une borne inférieure superpolynomiale pour un langage dans ) pour les circuits de seuil de profondeur 2 (poids illimités). Les circuits de profondeur 3 construits à partir de portes majoritaires, c'est-à-dire contiennent cette classe, et donc nous ne connaissons pas non plus de bonnes limites inférieures pour cette classe. $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{TC}^0_3$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Cela répond à ma question. Merci Kristoffer.

— Kaveh

Comme je l'ai écrit dans le commentaire ci-dessus, même si un problème dans NEXP n'est pas connu pour être en dehors de TC , n'est-il pas encore possible que la hiérarchie non uniforme TC soit correcte via un argument de comptage borne inférieure?

_{2}^{0}

$^0_2$

^{0}

$^0$

— Dilworth

En outre, puis-je demander, comment cela est-il cohérent avec les limites inférieures exponentielles connues sur TC et la séparation de la profondeur 3 des circuits de seuil de profondeur 2, comme indiqué dans le zoo de la complexité? Suis-je en train de manquer quelque chose?

_{2}^{0}

$_2^0$

— Dilworth

@Dilworth, je pense que c'est parce qu'il est défini en utilisant Majority not Threshold.

— Kaveh

Hmm .. que voulez-vous dire précisément? Est-ce lié à la note de Kristoffer sur les «poids illimités»?

— Dilworth

Si je ne me trompe pas, il semble que prouver que la hiérarchie ne s'effondre pas est au moins aussi difficile que de séparer de : $\mathsf{TC^0_d}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{TC^0}$

Notons le problème d'évaluation de formule booléenne par . est terminé pour sous réductions. $BFE$ $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0}$

Par Manindra Agrawal, Eric Allender et Steven Rudich, " Reductions in Circuit Complexity: An Isomorphism Theorem and a Gap Theorem ", 1999, est complet pour sous réductions. $BFE$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{AC^0_2}$

Supposons que . Puis pour certains . Par conséquent . Ce qui signifie que . $\mathsf{NC^1}=\mathsf{TC^0}$ $BFE \in \mathsf{TC^0_d}$ $d$ $\mathsf{NC^1} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$

Donc , pour tout , nous avons $d$

$\mathsf{TC^0} \not\subseteq \mathsf{TC^0_d}$ implique et . $\mathsf{NC^1} \not\subseteq \mathsf{TC^0_{d+2}}$ $BFE \notin \mathsf{TC^0_d}$

— Kaveh
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