Quelle est la relation entre et ?

Quelle est la relation entre $\mathsf{PLS}$ et $\mathsf{APX}$ ? En d'autres termes, les problèmes qui admettent une recherche locale en temps polynomial sont-ils approximables? Les problèmes d'optimisation approximatifs impliquent-ils un algorithme de recherche local en général?

Si l'on veut approximer la fonction potentielle, alors oui, il existe même un schéma d'approximation en temps polynomial (FPTAS). Voir

James B. Orlin, Abraham P. Punnen, Andreas S. Schulz: recherche locale approximative dans l'optimisation combinatoire. SIAM J. Comput. 33 (5): 1201-1214 (2004).

Pour certains paramètres, ce n'est pas intéressant. Par exemple, pour les jeux de congestion, où des équilibres purs existent et leur calcul est PLS-complet, les profils de stratégie qui se rapprochent bien de la fonction potentielle peuvent être de très mauvais équilibres approximatifs. Pour certains paramètres, les équilibres approximatifs à facteur constant peuvent être calculés en temps polynomial même lorsque le calcul d'un équilibre exact est difficile pour PLS, pour d'autres paramètres, il est difficile pour PLS de calculer un équilibre approximatif pour toute approximation non triviale calculable en temps polynomial. comme expliqué dans le document d’annonce suivant.

Ioannis Caragiannis, Angelo Fanelli, Nick Gravin, Alexander Skopalik: Calcul des équilibres Nash purs approximatifs dans les jeux de congestion. SIGecom Exchanges 11 (1): 26-29 (2012).

Remarque PLS pourrait être beaucoup plus facile que FNP.